Zuordnung von Funktionsgraphen und Flächenberechnung
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Ordnen Sie die Funktionen $g$, $g'$ und $G$ den Schaubildern zu und begründen Sie Ihre Entscheidung.
Bestimmen Sie mit Hilfe Ihrer Zuordnung den Inhalt der Fläche, die das Schaubild $C$ auf dem Intervall $[-2; 2]$ mit der Geraden $y = 1$ einschließt. (6 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Drei Koordinatensysteme (A, B, C) mit Funktionsgraphen. Graph A zeigt eine achsensymmetrische Funktion mit mehreren Minima und Maxima, die den Ursprung kreuzt. Graph B zeigt eine periodische Funktion, die wie eine Sinuswelle aussieht, mit Maxima bei ca. $x = -3$ und $x = 1$, Minima bei ca. $x = -1$ und $x = 3$. Graph C zeigt ebenfalls eine periodische Wellenform, die im Intervall $[-2;2]$ ein Maximum bei $x = -2$ (Wert ca. $+1$) und ein Minimum bei $x = 0$ (Wert ca. $-3$) hat. Alle Graphen sind auf Karopapier gezeichnet.
Animierte Videolösung
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir die Graphen A, B und C den Funktionen g, g-Strich und der Stammfunktion G zuordnen. Danach berechnen wir eine bestimmte Fläche unter Graph C.
Funktionszuordnung und Flächeninhalt
Wir nutzen den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung: Die Nullstellen der Ableitung entsprechen den Extrempunkten der Funktion.
Teil 1: Zuordnung
Betrachten wir Graph B. Er hat Nullstellen bei minus zwei, null und zwei. Vergleichen wir das mit Graph A: Graph A hat an genau diesen Stellen Extrempunkte.
Das bedeutet, dass B die Ableitung von A sein muss. Also ist B gleich g-Strich und A ist gleich g.
Graph A = g
Graph B = g'
Schauen wir uns nun Graph C an. Graph C hat Extrempunkte bei minus zwei, null und zwei. Graph A hat an diesen Stellen Nullstellen. Damit ist A die Ableitung von C.
Wenn A die Ableitung von C ist und A gleich g ist, dann muss C eine Stammfunktion von g sein. Also C ist gleich G.
Graph C = G
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