Analysis: Tangentengleichung und Integralberechnung

Willkommen! Wir lösen heute zwei Aufgaben. In Aufgabe eins punkt fünf suchen wir eine Tangente an die Funktion k von x gleich x hoch drei plus eins, die senkrecht auf einer gegebenen Geraden steht.

Zuerst bestimmen wir die Steigung unserer Tangente. Da sie senkrecht zur Geraden steht, gilt: Die Tangentensteigung m ist der negative Kehrwert der Geradensteigung.

Eingesetzt ergibt das: minus eins geteilt durch minus ein zwölftel. Die gesuchte Steigung m t ist also gleich zwölf.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x null entspricht der ersten Ableitung der Funktion an dieser Stelle. Leiten wir also x hoch drei plus eins ab.

Nun setzen wir die Ableitung gleich der gewünschten Steigung zwölf, um den Berührpunkt x null zu finden.

Wir teilen durch drei und erhalten x quadrat gleich vier.

Daraus ergeben sich zwei mögliche Stellen: x gleich zwei oder x gleich minus zwei. Da in der Aufgabe nach einer Tangente gefragt ist, wählen wir x gleich zwei.

Berechnen wir den zugehörigen y-Wert, indem wir zwei in die Originalfunktion k einsetzen.

Mit der Punkt Steigungs Form ermitteln wir nun die Tangentengleichung. y minus neun ist gleich zwölf mal in Klammern x minus zwei.