Kurvendiskussion und Integralrechnung von ganzrationalen Funktionen
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -x^4 + 8x^3 - 18x^2 + 27, x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild heißt $K_f$.
2.1 Zeigen Sie, dass $f$ bei $x_1 = -1$ und $x_2 = 3$ Nullstellen hat.
Untersuchen Sie $K_f$ auf Extrem- und Wendepunkte.
Zeichnen Sie $K_f$ für $-1,25 \le x \le 4$. (12 Punkte)
2.2 Prüfen Sie, ob die y-Achse den Inhalt der Fläche zwischen $K_f$ und der x-Achse im Verhältnis $1:2$ teilt. (5 Punkte)
2.3 Von einem zur y-Achse symmetrischen Schaubild einer ganzrationalen Funktion vierten Grades kennt man einen Hochpunkt $H(2|9)$ und eine Nullstelle bei $x = -1$. Geben Sie ein lineares Gleichungssystem an, mit dessen Hilfe man einen passenden Funktionsterm bestimmen könnte. (4 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Gegeben ist die Polynomfunktion f von x gleich minus x hoch vier plus acht x hoch drei minus achtzehn x quadrat plus siebenundzwanzig. Wir schauen uns nun die Teilaufgabe zwei Punkt drei an.
Aufgabe 2.3: Aufstellen eines LGS
Da die Funktion vierten Grades und achsensymmetrisch zur y-Achse ist, wissen wir, dass nur gerade Exponenten im Funktionsterm vorkommen können. Das vereinfacht unseren Ansatz.
Zusätzlich benötigen wir die erste Ableitung für die Untersuchung des Hochpunkts. Diese lautet vier a x hoch drei plus zwei c x.
Nun nutzen wir die gegebenen Informationen, um die Gleichungen aufzustellen. Erstens haben wir eine Nullstelle bei x gleich minus eins. Das bedeutet f von minus eins ist null.
Bedingungen übersetzen
Setzen wir minus eins in unseren symmetrischen Ansatz ein, erhalten wir die erste Gleichung: a mal eins plus c mal eins plus e gleich null.
Zweitens ist ein Hochpunkt bei H zwei strich neun gegeben. Das liefert uns zwei Informationen. f von zwei muss gleich neun sein.
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