Kurvendiskussion und Integralrechnung einer kubischen Funktion
Veröffentlicht:
Aufgabe 4
(30 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2$, $x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild ist $K_f$.
4.1 Berechnen Sie die Nullstellen von $f$ und geben Sie die Art der Nullstellen an. Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunkts von $K_f$.
Zeichnen Sie $K_f$ für $-1 \leq x \leq 3,5$. (11 Punkte)
4.2 Bestimmen Sie den Funktionsterm einer Stammfunktion von $f$, deren Schaubild durch den Punkt $A(2|0)$ verläuft. (4 Punkte)
4.3 Die Punkte $P(1|0)$, $Q(u|f(u))$ und $R(u|0)$ mit $1 \leq u ≤ 3$ bilden ein Dreieck.
Zeichnen Sie das Dreieck für $u = 2$ in das Koordinatensystem aus Aufgabe 4.1.
Berechnen Sie für $u = 2$ und $u = 2,5$ die Flächeninhalte der zugehörigen Dreiecke.
Welches der beiden Dreiecke hat den größeren Flächeninhalt? (7 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit einer ganzrationalen Funktion dritten Grades. Wir werden Nullstellen, den Wendepunkt und Stammfunktionen berechnen sowie eine Flächenberechnung an einem Dreieck durchführen.
Kurvendiskussion & Integration
Zuerst berechnen wir die Nullstellen. Dazu setzen wir die Funktionsgleichung gleich null.
4.1 Nullstellen
Wir können ein halb mal x quadrat ausklammern, um das Ganze zu vereinfachen.
Nach dem Nullproduktverfahren erhalten wir zwei Werte. Der erste Faktor liefert x gleich null. Da es ein quadratischer Faktor ist, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle mit Berührpunkt.
Der zweite Faktor liefert x gleich drei. Dies ist eine einfache Nullstelle, also ein Schnittpunkt mit der x-Achse.
Als nächstes suchen wir die Koordinaten des Wendepunkts. Dafür benötigen wir die ersten beiden Ableitungen von f von x.
4.1 Wendepunkt
Für die notwendige Bedingung setzen wir die zweite Ableitung gleich null.
Addieren wir drei und teilen durch drei, erhalten wir x gleich eins als Kandidaten für die Wendestelle.
Durch Einsetzen in die dritte Ableitung prüfen wir die hinreichende Bedingung. Da f drei Strich von eins gleich drei und somit ungleich null ist, liegt ein Wendepunkt vor.
Nun berechnen wir den y-Wert durch Einsetzen von eins in die ursprüngliche Funktion f.
Der Wendepunkt liegt also bei den Koordinaten eins und minus eins.
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
11 weitere Schritte sind gesperrt. Sieh dir die komplette animierte Lösung kostenlos an.
Mach ein Foto, löse jede Aufgabe so.
Den Rest kostenlos ansehen
Kostenloser Download · Erste Lösungen geschenkt
