Analysis einer ganzrationalen Funktion dritten Grades
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Aufgabe 4
(30 Punkte)
Gegeben ist die Funktion f mit
$$f(x) = \frac{1}{5}x^3 + \frac{3}{4}x^2 - \frac{3}{2}x, x \in \mathbb{R}$$
und ihr Schaubild $K_f$.
4.1 Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an $K_f$ im Punkt $P(0|f(0))$.
Im Punkt B auf $K_f$ besitzt die Tangente dieselbe Steigung wie in P.
Bestimmen Sie die Koordinaten von B. (7 Punkte)
4.2 Die Gerade $x = u$ schneidet $K_f$ für $-5 \le u \le 0$ im Punkt Q und die x-Achse im Punkt R. Der Koordinatenursprung O bildet mit den Punkten Q und R ein Dreieck.
Zeichnen Sie in das obige Schaubild das Dreieck OQR für $u = -4$ ein.
Berechnen Sie, für welchen Wert von u der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird und geben Sie den maximalen Flächeninhalt an. (8 Punkte)
4.3 Begründen Sie, dass das Schaubild jeder Stammfunktion von f an der Stelle $x = 0$ einen Hochpunkt hat.
Geben Sie die Stammfunktion an, deren Schaubild den Hochpunkt in $H(0|-3)$ hat. (4 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem zeigt den Graphen $K_f$ einer kubischen Funktion. Die x-Achse reicht von etwa -6 bis +3, die y-Achse von -2 bis +7. Der Graph hat eine Nullstelle bei $x=0$, ein lokales Maximum bei etwa $x=-3$ ($y \approx 6$) und ein lokales Minimum bei etwa $x=1$ ($y \approx -0,5$). Das Gitter ist in Einerschritten skaliert.
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Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Beginnen wir mit der ersten Teilaufgabe. Wir suchen die Gleichung der Tangente an den Graphen im Punkt P mit der x-Koordinate null. Dazu notieren wir uns die gegebene Funktion f und bilden direkt die erste Ableitung nach den Potenzregeln.
4.1: Tangente an $K_f$ im Punkt $P$
Da die gesuchte Tangente im Punkt bei x gleich null ansetzt, setzen wir null in f ein und erhalten den Ursprung als Punkt P. Die Steigung m am Punkt P erhalten wir, indem wir null in die Ableitung einsetzen, was uns minus drei Halbe liefert.
Weil die Tangente genau durch den Ursprung verläuft, hat sie keinen y-Achsenabschnitt, die Tangentengleichung lautet also schlichtweg t von x ist gleich minus drei Halbe mal x.
Im zweiten Teil suchen wir einen weiteren Punkt B auf dem Graphen, in dem die Tangente dieselbe Steigung besitzt. Dazu setzen wir die Steigungsfunktion wieder gleich dem Wert minus drei Halbe.
4.1: Punkt B mit gleicher Steigung
Wir ersetzen f Strich von x durch den bekannten Term unserer Ableitungsfunktion.
Wenn wir auf beiden Seiten drei Halbe addieren, fällt der konstante Term weg und wir erhalten eine Nullstellen-Gleichung.
Durch Ausklammern von x können wir die Lösungen der Gleichung auf der linken Seite in zwei Faktoren unterteilen.
Der erste Faktor x liefert uns den Wert null. Das ist der bereits bekannte Punkt P. Setzen wir die Klammer gleich null und lösen auf, erhalten wir minus zwei Komma fünf.
Den zugehörigen y-Wert für B berechnen wir, indem wir minus zwei Komma fünf in die ursprüngliche Funktion f einsetzen. Das ergibt fünf Komma drei eins zwei fünf.
Kommen wir zu Konstruktion für Aufgabe vier Punkt zwei. Ein Dreieck wird durch die x-Achse, die Vertikale bei u und die Kurvenfunktion begrenzt. Da u laut Aufgabenstellung im Negativen liegt, also links der y-Achse, rechnen wir mit einer positiven Länge für die Grundseite, weshalb wir minus u nehmen.
4.2: Maximaler Flächeninhalt
Wir setzen den Term der Funktion f in die Dreiecksformel ein, um die Flächentunktion A aufzustellen.
Nach dem Ausmultiplizieren erhalten wir ein einfaches Polynom vierten Grades für die Zielfunktion des Flächeninhalts in Abhängigkeit von u.
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