Analysis: Tangentengleichung und Bestimmtes Integral
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1.3 Gegeben ist eine Funktion $g$ mit $g(x) = x^3 - 2x^2 + 16, x \in \mathbb{R}$.
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an das Schaubild von $g$ an der Stelle $x = 2$. (4 Punkte)
1.4 Berechnen Sie den Wert des Integrals $\int_{0}^{4 \cdot \ln(2)} e^{0,25x} dx$. (4 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe werden wir zwei Teile bearbeiten. Zuerst bestimmen wir die Tangentengleichung für eine Funktion g und danach berechnen wir ein bestimmtes Integral.
Aufgabe 1.3 & 1.4
Betrachten wir Aufgabe eins punkt drei. Gegeben ist die Funktion g von x gleich x hoch drei minus zwei x quadrat plus sechzehn. Wir sollen die Tangente an der Stelle x gleich zwei finden.
1.3 Tangentengleichung bestimmen
Die allgemeine Formel für eine Tangente lautet y ist gleich g von x null plus g strich von x null mal Klammer auf x minus x null Klammer zu.
Zuerst berechnen wir den Funktionswert an der Stelle zwei.
Das ergibt acht minus acht plus sechzehn, also ist der y-Wert gleich sechzehn.
Nun brauchen wir die Ableitung von g. Wir verwenden die Potenzregel.
Jetzt setzen wir den x-Wert zwei in die Ableitung ein, um die Steigung m zu erhalten.
Drei mal vier ist zwölf, minus acht ergibt eine Steigung von vier.
Wir setzen nun m gleich vier, x null gleich zwei und y null gleich sechzehn in die Geradengleichung ein.
Ausgerechnet ergibt das vier x minus acht plus sechzehn. Das vereinfacht sich zu vier x plus acht.
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