Optimierungsproblem und Funktionsuntersuchung
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1.6 In der nebenstehenden Abbildung schließen das zur y-Achse symmetrische Schaubild $K_g$ der Funktion $g$ und die x-Achse eine Fläche ein. In diese wird ein achsenparalleles Rechteck einbeschrieben.
Geben Sie eine Zielfunktion an, mit deren Hilfe das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt bestimmt werden kann. (3 Punkte)
1.7 Das Schaubild $K_g$ aus 1.6 ist das Schaubild der Ableitungsfunktion der Funktion $h$, es gilt also $h' = g$. Treffen Sie Aussagen über die Lage und Anzahl der Wendestellen von $h$. (3 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem mit x- und y-Achse ist dargestellt. Zu sehen ist ein zur y-Achse symmetrischer Funktionsgraph $K_g$ der Funktion $g$. Die Kurve verläuft bogenförmig unterhalb der x-Achse. Sie hat ein lokales Minimum auf der y-Achse und zwei Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse), jeweils links und rechts der y-Achse. Jenseits dieser Nullstellen scheint die Kurve wieder unter die x-Achse abzufallen, was auf eine glockenförmige oder trigonometrische Struktur hindeutet, die nach unten geöffnet ist.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe schauen wir uns zwei Fragen zu einem Funktionsgraphen an. Zuerst geht es um eine Optimierungsaufgabe.
Optimierung und Graphenanalyse
Gegeben ist der Graph von g, der symmetrisch zur y-Achse ist. Wir sollen ein achsenparalleles Rechteck unterhalb der x-Achse einschreiben.
Ein Punkt auf dem Graphen habe die Koordinaten x und g von x. Wegen der Symmetrie hat die gegenüberliegende Ecke die x-Koordinate minus x.
Das Rechteck hat also die Breite zwei x und die Höhe den Betrag von g von x. Da g unterhalb der x-Achse liegt, ist die Höhe minus g von x.
Die Breite ist $b = 2x$. Die Höhe ist $h = -g(x)$.
Die Zielfunktion für den Flächeninhalt A von x ist das Produkt aus Breite und Höhe. Also zwei x mal minus g von x.
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