Zuordnung von Funktionsgraphen und Ableitungsfunktion
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1.4 Gegeben sind die Abbildungen A, B und C. Sie zeigen die Schaubilder einer Funktion $h$, der Ableitungsfunktion $h'$ von $h$ und einer weiteren Funktion $k$. Begründen Sie, welche Abbildung zum Schaubild von $h$, $h'$ und $k$ gehört.
(3 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Die Abbildung zeigt drei Koordinatensysteme (A, B, C) mit Funktionsgraphen. Graph A: Eine Kurve mit zwei lokalen Extremstellen (einem Hochpunkt bei etwa $x=0$ und einem Tiefpunkt bei etwa $x=1.5$) und Nullstellen bei ca. $x=-1.5$ und $x=2.5$. Graph B: Eine stets positive Kurve mit einem lokalen Minimum bei etwa $x=2$ und einem lokalen Maximum bei ca. $x=-3$, wobei der Graph gegen Unendlich strebt für sehr große und sehr kleine x-Werte. Graph C: Eine Kurve mit zwei lokalen Extremstellen (Tiefpunkt bei $x=-1$, Hochpunkt bei ca. $x=1$) und Nullstellen bei $x=-1$ (doppelte Nullstelle) und $x=2$. Alle Graphen sind auf Millimeterpapier-Hintergrund gezeichnet mit Achsenbeschriftungen von $-3$ bis $3$ auf der x-Achse und $-2$ bis $6$ auf der y-Achse.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir den Abbildungen A, B und C die Funktionen h, h Strich und eine weitere Funktion k zuordnen. Lassen Sie uns die Zusammenhänge zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung nutzen.
Zuordnung von h, h' und k
Zuerst schauen wir uns Abbildung B an. Wir bemerken, dass der Graph bei x gleich zwei ein lokales Minimum hat.
Betrachtung Abbildung B:
Da die Ableitungsfunktion an den Extremstellen der Originalfunktion Nullstellen haben muss, suchen wir einen Graphen, der bei x gleich zwei eine Nullstelle hat.
Wir sehen uns Abbildung C an. Tatsächlich kreuzt der Graph in Abbildung C die x-Achse genau bei x gleich eins und x gleich zwei. Das passt perfekt zum Verlauf von B.
Prüfen wir einen weiteren Punkt. In Abbildung B ist der Graph für x kleiner als zwei fallend. Das bedeutet, die Ableitung muss dort negativ sein.
Schauen wir auf Abbildung C: Für x-Werte zwischen null und zwei liegt der Graph unterhalb der x-Achse, ist also negativ. Das bestätigt unsere Vermutung.
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