Kurvendiskussion und Tangentengleichung einer Polynomfunktion

Question

**Aufgabe 2**
Wahlteilaufgabe mit Taschenrechner. (30 Punkte)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - x^2, x \in \mathbb{R}$. Das Schaubild ist $K_f$.

2.1 Berechnen Sie die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte von $K_f$. Zeichnen Sie $K_f$ für $-3 \le x \le 2$. (9 Punkte)

2.2 Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an $K_f$ im Punkt $P(2 | f(2))$ und die Koordinaten des Schnittpunktes dieser Tangente mit der $x$-Achse. (4 Punkte)

Solvi · Accepted Answer

In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Funktion f von x gleich ein Viertel x hoch vier plus ein Drittel x hoch drei minus x quadrat. Wir sollen die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte berechnen. Um Extrempunkte zu finden, benötigen wir zuerst die Ableitungen der Funktion. Wir nutzen die Potenzregel. Für die notwendige Bedingung für Extremstellen setzen wir die erste Ableitung gleich Null. Wir können x ausklammern, um die Gleichung zu vereinfachen. Hier sehen wir sofort die erste Nullstelle bei x gleich Null. Die anderen Stellen finden wir durch Lösen der quadratischen Gleichung in den Klammern. Mit der PQ-Formel erhalten wir zwei weitere Lösungen. Nun überprüfen wir die hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung, um zu bestimmen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.

Stelle x	f''(x)	Art
0	-2 < 0	Hochpunkt (H)
1	3 > 0	Tiefpunkt (T_1)
-2	6 > 0	Tiefpunkt (T_2)

Kurvendiskussion und Tangentengleichung einer Polynomfunktion

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