Analysis von Funktionen (Nullstellen, Tangenten, Wendepunkte)
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Aufgabe 1 (Variante 2)
Pflichtteilaufgabe ohne Taschenrechner. (30 Punkte)
1.1 Geben Sie Lage und Art der Nullstellen der Funktion $f$ mit
$$f(x) = \frac{1}{2}(x - 3)^2(x + \frac{4}{3}), x \in \mathbb{R}$$ an. (3 Punkte)
1.2 Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in $P(2|f(2))$ an das Schaubild der Funktion $f$ mit $$f(x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{4}x) + x, x \in \mathbb{R}.$$ (4 Punkte)
1.3 Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Schaubildes der Funktion $f$ mit $$f(x) = \frac{1}{3}x^4 - 6x^2 + 13, x \in \mathbb{R}.$$ (4 Punkte)
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Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe schauen wir uns drei Teilaufgaben ohne Taschenrechner an. Beginnen wir mit Aufgabe eins punkt eins: Wir sollen die Lage und die Art der Nullstellen dieser Funktion bestimmen.
Aufgabe 1.1: Nullstellen bestimmen
Um die Nullstellen zu finden, setzen wir die Funktion gleich null. Da f von x bereits in faktorisierter Form vorliegt, können wir den Satz vom Nullprodukt anwenden.
Der erste Faktor x minus drei wird null, wenn x gleich drei ist. Wegen des Quadrats ist dies eine doppelte Nullstelle, also eine Berührstelle mit der x-Achse.
Der zweite Faktor x plus vier Drittel wird null, wenn x gleich minus vier Drittel ist. Da dies ein linearer Faktor ist, handelt es sich um eine einfache Nullstelle, also eine Schnittstelle.
In Aufgabe eins punkt zwei bestimmen wir die Tangentengleichung an der Stelle zwei für eine trigonometrische Funktion.
Aufgabe 1.2: Tangentengleichung
Zuerst berechnen wir den y-Wert an der Stelle zwei. Wenn wir zwei einsetzen, erhalten wir Sinus von pi halbe, was eins ist. Plus zwei ergibt zwei Komma fünf.
Punkt: $P(2 | 2.5)$
Für die Steigung benötigen wir die Ableitung. Mit der Kettenregel erhalten wir ein halb mal pi viertel mal Kosinus von pi viertel x plus eins.
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