Monotonieverhalten einer Exponentialfunktion
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1.5 Zeigen Sie, dass das Schaubild der Funktion h mit $h(x) = e^x - x$, $x \in \mathbb{R}$ für $x < 0$ fällt. (3 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir zeigen, dass der Graph der Funktion h für alle Werte von x kleiner als null fallend ist.
Monotonieverhalten untersuchen
Um zu zeigen, ob eine Funktion fällt oder steigt, müssen wir ihre erste Ableitung untersuchen. Denn wenn die Ableitung negativ ist, ist der Funktionsgraph streng monoton fallend.
Kriterium: $h$ fällt, wenn $h'(x) < 0$.
Leiten wir h von x ab. Die Ableitung von e hoch x bleibt e hoch x, und die Ableitung von minus x ist minus eins.
Nun schauen wir uns die Bedingung an, dass x kleiner als null ist.
Untersuchung der Ableitung für $x < 0$
Wir wenden die Exponentialfunktion auf beide Seiten der Ungleichung an. Da die e-Funktion streng monoton steigend ist, bleibt das Ungleichheitszeichen erhalten.
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