Analysis einer kubischen Funktion: Tangentengleichung und Steigung
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Aufgabe 4
(30 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit
$$f(x) = \frac{1}{5}x^3 + \frac{3}{4}x^2 - \frac{3}{2}x, x \in \mathbb{R}$$
und ihr Schaubild $K_f$.
4.1 Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an $K_f$ im Punkt $P(0|f(0))$.
Im Punkt $B$ auf $K_f$ besitzt die Tangente dieselbe Steigung wie in $P$.
Bestimmen Sie die Koordinaten von $B$. (7 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Das Bild zeigt ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Graphen $K_f$ einer kubischen Funktion. Die x-Achse reicht von etwa -5.5 bis 2.5, die y-Achse von -1.5 bis 6.5. Der Graph verläuft durch den Ursprung $(0,0)$, hat einen Hochpunkt bei etwa $x ≈ -3$ ($y ≈ 6.3$) und einen Tiefpunkt bei etwa $x ≈ 1$ ($y ≈ -0.5$). Der Graph schneidet die x-Achse bei ca. -5.2, bei 0 und bei ca. 1.8. Ein Gitter hinterlegt das System zur besseren Ablesbarkeit.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Funktion f von x und suchen die Gleichung einer Tangente sowie einen Punkt mit einer bestimmten Steigung.
Aufgabe 4.1
Zuerst bestimmen wir die Tangentengleichung im Punkt P bei x gleich null. Die allgemeine Formel für eine Tangente lautet y ist gleich f Strich von null mal x plus f von null.
Berechnen wir zuerst den Funktionswert an der Stelle null. Wenn wir null für x einsetzen, erhalten wir f von null gleich null.
Das bedeutet, der Punkt P liegt im Ursprung bei null stab null.
Als nächstes benötigen wir die Ableitung f Strich von x, um die Steigung zu finden.
Ableitung berechnen
Wir leiten Term für Term ab. Aus x hoch drei wird drei x quadrat, aus x quadrat wird zwei x und das x fällt weg.
Setzen wir nun x gleich null in die Ableitung ein, um die Steigung m im Punkt P zu erhalten.
Die Steigung der Tangente ist also minus eins komma fünf. Kombinieren wir das mit dem Punkt P erhalten wir die Tangentengleichung.
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