Hoch-, Tief- und Wendepunkte einer kubischen Funktion

Wir haben die Funktion f von x gleich zwei x hoch drei minus neun x quadrat plus zwölf x minus fünf gegeben. Wir sollen die Hoch-, Tief- und Wendepunkte berechnen und das Schaubild im Intervall von null bis drei zeichnen.

Um Extrem- und Wendepunkte zu finden, benötigen wir zuerst die Ableitungen der Funktion. Berechnen wir die ersten drei Ableitungen mit der Potenzregel.

Beginnen wir mit den Extrempunkten. Die notwendige Bedingung ist, dass die erste Ableitung gleich Null ist.

Wir teilen die Gleichung durch sechs, um sie zu vereinfachen, und nutzen dann die p-q-Formel oder sehen die Nullstellen direkt.

Die Faktoren sind x minus eins mal x minus zwei. Das ergibt die Nullstellen x eins gleich eins und x zwei gleich zwei.

Nun prüfen wir die hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung. Für x gleich eins ist die zweite Ableitung minus sechs, also kleiner als Null. Das bedeutet, wir haben dort einen Hochpunkt.

Für x gleich zwei ist die zweite Ableitung plus sechs, also größer als Null. Das bedeutet, wir haben dort einen Tiefpunkt.