Zuordnung von Funktionen, Ableitungen und Integralen
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3.6 Gegeben sind die Schaubilder einer Funktion $g$, ihrer Ableitungsfunktion $g'$ und einer Stammfunktion $G$ von $g$.
[Drei Graphen A, B, C]
Ordnen Sie die Funktionen $g$, $g'$ und $G$ den Schaubildern zu und begründen Sie Ihre Entscheidung.
Bestimmen Sie mit Hilfe Ihrer Zuordnung den Inhalt der Fläche, die das Schaubild $C$ auf dem Intervall $[-2; 2]$ mit der Geraden $y = 1$ einschließt. (6 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Drei Koordinatensysteme (A, B, C) zeigen Kurvenverläufe. Graph A zeigt eine fallende, wellenartige Funktion mit negativer Steigung. Graph B zeigt eine oszillierende Kurve (Sinus-ähnlich) mit hoher Amplitude zwischen -3 und 3 auf der y-Achse. Graph C zeigt ebenfalls eine oszillierende Kurve, jedoch mit geringerer Amplitude (ca. -2 bis 1) und einer vertikalen Verschiebung nach unten. Die Achsen sind beschriftet mit x und y, Gitterlinien sind vorhanden.
Animierte Videolösung
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe schauen wir uns drei Graphen an und ordnen sie der Funktion g, ihrer Ableitung g Strich und ihrer Stammfunktion G zu. Danach berechnen wir einen Flächeninhalt.
Zuordnung von Graphen
Betrachten wir zunächst die Extrema und Nullstellen. Wir wissen, dass an den Stellen, an denen eine Funktion ein Extremum hat, ihre Ableitung eine Nullstelle haben muss.
Schauen wir uns Graph B an. Er hat Nullstellen bei minus zwei, null und plus zwei. Genau an diesen Stellen hat Graph C Extrema.
Graph B Nullstellen: $x = -2, 0, 2$
Graph C Extrema: $x = -2, 0, 2$
Das bedeutet, dass Graph B die Ableitung von Graph C ist. Also gilt: B ist gleich C Strich.
Schauen wir nun auf Graph C. Er hat Nullstellen bei ungefähr minus eins Komma fünf und plus eins Komma fünf. Genau dort hat Graph A Extrema.
Graph C Nullstellen: $\approx \pm 1.5$
Graph A Extrema: $\approx \pm 1.5$
Folglich ist Graph C die Ableitung von Graph A. Das heißt, C ist gleich A Strich.
Daraus ergibt sich die logische Kette: A ist die Stammfunktion G, C ist die Funktion g und B ist die Ableitung g Strich.
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