Yerel Ekstremum ve Türev Problemi

Question

21. a ve b gerçel sayılar olmak üzere gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir f, g ve h fonksiyonları için 
$f(x) = x^3 + 3x^2 - ax + b$ 
$g(x) = x \cdot f(x)$ 
$h(x) = (f \circ g)(x) + f(x) \cdot g(x) + 2x$ 
eşitlikleri veriliyor. 
f ve g fonksiyonlarının x=1 noktasında birer yerel ekstremumu olduğu bilindiğine göre h'(1) + f(1) toplamı kaçtır? 
A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

Solvi · Accepted Answer

Merhaba Hafsa, bu yerel ekstremum ve türev sorusunu birlikte adım adım çözelim. Soruda f ve g fonksiyonlarının x eşittir bir noktasında yerel ekstremumları olduğu söylenmiş. Polinom fonksiyonlarında ekstremum noktalarında birinci türev sıfırdır. Şimdi bizden istenen ifadelere ulaşmak için önce g fonksiyonunun türevini alarak başlayalım. g(x) eşit x çarpı f(x) verilmiş. Eşitliğin her iki tarafının türevini alalım. Sağ tarafta çarpımın türevi kuralını uygulayacağız. Birincinin türevi yani bir çarpı ikinci artı birinci çarpı ikincinin türevi. Elde ettiğimiz bu türev denkleminde x yerine bir yazalım. g'nin birdeki türevi ve f'in birdeki türevinin sıfır olduğunu biliyoruz. Bu değerleri denklemde yerlerine yerleştirelim. Buradan f'in birdeki değerinin de sıfıra eşit olduğunu elde ederiz. Bunu yeşille işaretleyelim ki unutmayalım. Dikkat ederseniz sorunun başında f(x) için oldukça uzun bir denklem verilmişti. Ancak biz o denklemi hiç kullanmadan sadece türev kurallarıyla f'in birdeki değerini bulabildik. Sınavlarda böyle dikkat ölçen fazladan veriler olabilir. Şimdi asıl bulmamız gereken ifadeye, yani h fonksiyonunun türevine geçelim. İlk terimdeki fog bileşke fonksiyonunu türev alırken…

Yerel Ekstremum ve Türev Problemi

Animasyonlu Video Çözüm

Adım Adım Yazılı Çözüm