Daima artan fonksiyon ve türev ilişkisi

Merhaba arkadaşlar. Bugün birlikte türev ve fonksiyon bilgimizi kullanarak güzel bir soru çözeceğiz. Sorumuzda üçüncü dereceden bir fonksiyonun daima artan olması durumu veriliyor.

Öncelikle bize verilen f x fonksiyonunu ve f bir eşittir sıfır bilgisini not edelim.

Fonksiyonda x yerine bir yazarak a ve b arasındaki ilişkiyi bulalım. Birin küpü artı a çarpı birin karesi artı b çarpı bir eksi yedi sıfıra eşit olmalı.

Buradan a artı b eksi altı eşittir sıfır, yani b değerini a cinsinden altı eksi a olarak ifade edebiliriz. Bu bilgi ileride çok işimize yarayacak.

Şimdi fonksiyonun daima artan olması şartını inceleyelim. Bir fonksiyonun daima artan olması için türevinin her x gerçel sayısı için sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.

Gelin, f fonksiyonunun türevini alalım. x küpün türevi üç x kare, a x karenin türevi iki a x ve b x'in türevi b olur.

Bu ikinci dereceden ifadenin daima sıfırdan büyük veya eşit kalması için, baş katsayısı pozitif olduğundan diskriminantının sıfırdan küçük veya eşit olması gerekir.

Diskriminant formülümüz b kare eksi dört a c idi. Burada ifademizdeki katsayılarla iki a'nın karesi eksi dört çarpı üç çarpı b şeklinde yazalım.

Düzenlersek, dört a kare eksi on iki b küçük eşittir sıfır elde ederiz. Her tarafı dörde bölerek sadeleştirebiliriz.

Böylece a kare eksi üç b küçük eşittir sıfır eşitsizliğine ulaştık.