f(x) ve Türevinin Grafiği

Merhaba arkadaşlar. Bugün iki bin yirmi bir ayete sınavında çıkmış harika bir türev ve parabol sorusunu birlikte çözeceğiz.

Soruda bir bilgisayar programında fonksiyon ve türevinin grafikleri çizilmiş, ancak koordinat eksenleri silinmiş. Bizden fonksiyonun alabileceği en küçük değeri bulmamız isteniyor.

Öncelikle grafiklere bakalım. f türev x'in bir doğru, f x'in ise bir parabol olduğunu görüyoruz. Bu durumda f x ikinci dereceden bir fonksiyondur.

Türevin grafiğine odaklanalım. Doğrumuz her bir birim sağa gittiğinde bir birim yukarı çıkıyor. Yani eğimi birdir.

Buradan iki a değerinin bire eşit olduğunu, yani a değerinin bir bölü iki olduğunu anlıyoruz.

Şimdi çok önemli bir noktaya değinelim. Bir fonksiyonun en küçük değerini aldığı tepe noktasında türevi sıfırdır.

Grafiğe baktığımızda parabolün tepe noktasının, yani en alt noktasının hizasında türev doğrusunun değerini sayalım.

Tepe noktasının olduğu apsis değerine r diyelim. f türev r sıfırdır. Grafikte türev doğrusunun x eksenini kestiği yer burasıdır.

Izgarayı birim kareler olarak düşünelim. Tepe noktasının olduğu yerden bir birim sağa gidersek, türev fonksiyonunun değerinin bir olduğunu görürüz.

Grafikte f türev x ile f x in kesiştiği noktaya bakalım. Tepe noktasından iki birim sağda kesişiyorlar.

Önce f türev r artı iki değerini bulalım. Eğimimiz bir olduğu için r artı iki noktasında türev değerimiz ikidir.

Fonksiyonu tepe noktası formunda yazarsak, f x eşittir bir bölü iki çarpı x eksi r'nin karesi artı k olur.

Şimdi x yerine r artı iki yazıp ikiye eşitleyelim.

Burada r'ler birbirini götürür. İkinin karesi dört yapar. Dört bölü iki ise ikidir.