Yarım Daire İçindeki Geometrik Şekillerin Alanı

Merhaba Helinakhal, seninle birlikte bu güzel geometri sorusunu adım adım çözelim. İlk olarak soruda bize verilen bilgileri ve şekli dikkatlice analiz edelim.

Şekilde, bir yarım dairenin içine yerleştirilmiş eş iki dikdörtgen ve eş iki kare görüyoruz. Bu şekillerin aralarında hiç boşluk kalmayacak şekilde yerleştirildiği belirtilmiş.

Şimdi, bu geometrik şekillerin kenar uzunluklarını harflerle ifade ederek işe başlayalım.

Karelerin her birinin kenar uzunluğuna a diyelim. Bu durumda üç ve dört numaralı karelerin tüm kenarları a birim olacaktır.

Bir ve iki numaralı dikdörtgenler eş olduğu için kısa ve uzun kenarları aynıdır. Şekle baktığımızda, üç numaralı karenin üst kenarı ile bir numaralı dikdörtgenin üst kenarının aynı hizada olduğunu görüyoruz. Bu da dikdörtgenin yüksekliğinin karenin kenarına, yani a'ya eşit olduğunu gösterir.

Dikdörtgenlerin yatay kenar uzunluğuna ise ve diyelim. Böylece her iki dikdörtgenin de genişliği ve, yüksekliği ise a olur.

Şimdi de dikdörtgen ve karelerin oluşturduğu bu bölgeyi çevreleyen mavi çizginin uzunluğunu hesaplayalım. Soruda bu uzunluğun yirmi dört santimetre olduğu verilmiş.

Bu bölgenin çevresini oluşturan tüm dış kenarları tek tek toplayalım. Tabandaki yatay kenarla başlayalım.

Şimdi de üst kısımdaki sınırları ekleyelim. Sol dikey kenar a, üst yatay kenar a, yukarı çıkan dikey kenar a, en üstteki yatay kenar ve, sağa inen dikey kenar a, sağ yatay kenar a ve sağ dikey kenar a birimdir.

Bu iki değeri topladığımızda, tüm çevreyi elde ederiz. Yani, sekiz a artı iki ve, yirmi dörde eşit olmalıdır.

Bu denklemi iki ile sadeleştirirsek, dört a artı ve esittir on iki eşitliğini elde ederiz. Bu bizim ilk önemli denklemimiz olacak.

Şimdi, yarım dairenin merkezini orijin kabul eden bir koordinat sistemi yerleştirelim. Bu sayede çemberin üzerindeki noktaları kullanarak ve ile a arasındaki ilişkiyi bulabiliriz.

Çemberin merkezini tam ortadaki simetri eksenine, yani tabanın ortasına yerleştirelim. Bu durumda, yarım dairenin denklemi x kare artı y kare esittir re kare olur.

Şimdi çemberin üzerindeki kritik köşeleri belirleyelim. İki numaralı dikdörtgenin üst köşesi çemberin üzerindedir. Bu noktanın koordinatları, genişliğin yarısı ve iki kat yükseklik olduğundan, ve bölü ikiye iki a olur.

Aynı şekilde, dört numaralı karenin dış üst köşesi de çemberin üzerindedir. Bu noktanın koordinatları ise, ve bölü iki artı a'ya, a olur.