Üslü Sayılarda Değer Bulma

Merhaba arkadaşlar! Bu videoda, temel matematik sınavlarında sıklıkla karşımıza çıkan asal çarpanlar ve üslü sayılarla ilgili harika bir soruyu birlikte çözeceğiz. Öncelikle soruda verilen bilgileri tahtamıza yazalım.

Bizden istenen, A çarpı B çarpımının sondan sekiz basamağının sıfır olması koşulunu kullanarak, a üzeri b ifadesinin alabileceği en büyük değeri bulmaktır. Öncelikle bu iki sayının çarpımını yazarak işe başlayalım.

Bir sayının sondan sekiz basamağının sıfır olması demek, bu sayının içinde en az sekiz tane on çarpanı bulunması demektir. Bu da bu çarpımın iki ve beş çarpanlarının kuvvetlerinin en az sekiz olması gerektiği anlamına gelir.

Şimdi beş çarpanının sayısına odaklanalım. a ve b birer rakam olduğu için, bu rakamların içindeki beş çarpanı en fazla bir olabilir, o da beş rakamının kendisidir. Dolayısıyla beş çarpanının toplam sayısını şu şekilde ifade edebiliriz.

Burada beş çarpanı sadece a beş olduğunda bir, b beş olduğunda bir, diğer durumlarda ise sıfır değerini alacaktır. Bu eşitsizliği sağlayan b değerlerini bulmaya çalışalım.

Eğer be sayısı altı veya daha küçük bir rakam olsaydı, a nın beş olması durumunda bile bu toplam en fazla yedi olurdu ve sekize ulaşamazdı. Bu yüzden be rakamı kesinlikle yedi, sekiz veya dokuz olmalıdır.

Şimdi bulduğumuz bu be değerleri için tek tek durumları inceleyelim. İlk olarak be eşittir yedi durumuna bakalım.

b yedi olduğunda, beşte yedi çarpanı sıfır adet beş barındırır. Toplamın en az sekiz olması için, anın beş olması gerekir. Bu durumda anın içindeki beş çarpanı bir olur ve beşin kuvveti sekiz olur.

Fakat a beş ve b yedi iken iki çarpanının kuvvetini kontrol edersek, beş artı sıfır artı sıfırdan sadece beş adet iki çarpanı elde ederiz. Bu durum sekizden küçük olduğu için aradığımız şartı sağlamaz.

İkinci durum olarak be eşittir dokuz durumunu inceleyelim.

b dokuz olduğunda, beş çarpanının sayısı dokuz artı anın beş çarpanı sayısı olur. Eğer a beş değilse, beş çarpanı sayısı tam olarak dokuzdur. Sondan tam sekiz basamağın sıfır olması için iki çarpanının sayısının tam olarak sekiz olması gerekir.