Üslü Sayı ve Tam Sayı Problemi
Yayınlanma:
4. Aşağıda verilen düzenekte birinin üzerinde 2'den 20'ye kadar olan ardışık doğal sayılar, diğerinin üzerinde 2'den 8'e kadar olan ardışık doğal sayıların yazılı olduğu iki dairenin merkezleri etrafında döndürülmesi ile (m, n) sayı çiftleri elde ediliyor. Bu sayı çiftlerinden biri aşağıda görüldüğü gibi (5, 7) dir.
[Görselde iki çark düzeni bulunmaktadır, sol çarkta 2, 3, 4, 5, 6, 19, 20 sayıları görünmektedir, sağ çarkta 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sayıları görünmektedir.]
Elde edilen bu sayı çiftleri için $(\sqrt[m]{7})^n$ sayısı hesaplanacaktır.
Buna göre, elde edilecek farklı sayı çiftlerinden kaç tanesi için bu sayının sonucu bir tam sayı olur?
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
Soruda görsel içerik var: İki dairesel çark yatay bir çubukla birbirine bağlıdır. Soldaki (m) çarkında 2'den 20'ye kadar olan ardışık sayılar, sağdaki (n) çarkında 2'den 8'e kadar olan ardışık sayılar dairesel dizilimle bulunur. Ortadaki çubuk iki çarkın o anki değerlerini (m, n) olarak hizalar. Örnekte (5, 7) durumu verilmiştir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Sena, bu soruyu seninle birlikte adım adım çözelim.
Soru Analizi
Verilen düzenekte iki adet dönen daire bulunmaktadır.
İlk olarak, m ve n değişkenlerinin alabileceği değer kümesini belirleyelim.
m sayısı, sol taraftaki daireden seçilmektedir.
n sayısı ise sağ taraftaki daireden seçilmektedir.
Sol taraftaki dairede iki ile yirmi arasındaki ardışık sayılar yazılıdır. Sağdakinde ise iki ile sekiz arasındaki ardışık sayılar bulunur.
Şimdi, hesaplanması istenen köklü ifadeyi inceleyelim.
İfadenin İncelenmesi
Bu ifadeyi, üslü sayıların özelliklerini kullanarak rasyonel üs biçiminde yazabiliriz.
Üssün üssü çarpılır kuralından, bu ifade yedi üzeri n bölü m biçimine dönüşür.
Soruda bu ifadenin sonucunun bir tam sayı olması isteniyor. Yedi sayısı bir asal sayı olduğu için, ifadenin tam sayı olması ancak ve ancak üssün bir tam sayı olmasıyla mümkündür.
n bölü m ifadesinin bir pozitif tam sayı olması, m sayısının n sayısını tam bölmesi anlamına gelir. Yani m, n'nin bir böleni olmalıdır.
Bu durumda: m, n'yi tam bölmelidir. ($m \le n$ olmalıdır)
Şimdi n'nin alabileceği her bir değer için, m'nin hangi değerleri alabildiğini tek tek inceleyelim.
Değerlerin İncelenmesi
Hatırlayalım: $m \in \{2, 3, \dots, 20\}$ ve $n \in \{2, 3, \dots, 8\}$
Çözümün devamı Solvi’de
8 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
