Üslü İfadeler ve Tamkare Sayılar

Question

37. $a 
eq 0$ ve $m, n$ tam sayılar olmak üzere $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ ve $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ dir. Aşağıda, her bir hücresinde 2'nin birbirinden farklı tam sayı kuvvetlerinin yazılı olduğu iki sütunlu bir tablo verilmiştir. Tabloda bu üslü ifadelerden ikisi E ve F harfleriyle gösterilmiştir. I. sütundaki üç üslü ifadenin çarpımı tamkare pozitif bir tam sayıya ve II. sütundaki üç üslü ifadenin çarpımı da tamkare pozitif bir tam sayıya eşittir. Buna göre $E + F$ en az kaçtır? A) 33 B) 17 C) 9 D) 3

Solvi · Accepted Answer

Selam Zeynep, bu soruda üslü ifadelerle işlem yaparak tam kare sayılara ulaşmaya çalışacağız. Hadi birlikte çözelim. Tabloda iki sütun var. Birinci sütundaki sayıların çarpımı bir tam kare pozitif tam sayıya, ikinci sütundakilerin çarpımı da yine bir tam kare pozitif tam sayıya eşitmiş. Önce birinci sütuna bakalım. İfadelerimiz iki üzeri eksi bir, E ve iki üzeri üç. Bunların çarpımını yazalım. Üslü sayılarda çarpma yaparken tabanlar aynıysa üsleri toplarız. Eksi bir ile üçü topladığımızda iki elde ederiz. Yani ifademiz E çarpı iki üzeri iki, eşittir bir tam kare sayı oldu. Burada iki üzeri iki zaten dört, yani bir tam karedir. Sonucun karesel kalması için E değerinin kendisinin de bir tam kare olması gerekir. E ve F birbirinden farklı 2'nin kuvvetleri. E için en küçük pozitif tam kare değeri arıyoruz. E eşittir iki üzeri sıfır yani bir olabilir. Şimdi ikinci sütuna geçelim. İki üzeri eksi iki, F ve iki üzeri bir değerlerini çarpıyoruz.

I. Sütun	II. Sütun
$2^{-1}$	$2^{-2}$
$E$	$F$
$2^3$	$2^1$

Üslü İfadeler ve Tamkare Sayılar

Animasyonlu Video Çözüm

Adım Adım Yazılı Çözüm