Üslü İfadeler ve Tam Kare Sayılar

Question

$a 
eq 0$ ve $m, n$ tam sayılar olmak üzere $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ ve $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ dir.

Aşağıda, her bir hücresinde 2'nin birbirinden farklı tam sayı kuvvetlerinin yazılı olduğu iki sütunlu bir tablo verilmiştir. Tabloda bu üslü ifadelerden ikisi E ve F harfleriyle gösterilmiştir.

| I. Sütun | II. Sütun |
|---|---|
| $2^{-1}$ | $2^{-2}$ |
| E | F |
| $2^3$ | $2^1$ |

I. sütundaki üç üslü ifadenin çarpımı tam kare pozitif bir tam sayıya ve II. sütundaki üç üslü ifadenin çarpımı da tam kare pozitif bir tam sayıya eşittir.

Buna göre E + F en az kaçtır?

A) 33 
B) 17 
C) 9 
D) 3

Solvi · Accepted Answer

Merhaba Zeynep, bugün seninle bu güzel üslü ifade sorusunu birlikte çözelim. Tabloda her bir hücrede 2'nin farklı tam sayı kuvvetlerinin olduğunu biliyoruz. Öncelikle tabloda halihazırda bulunan kuvvetleri belirleyelim. Birinci sütunda eksi bir ve üç, ikinci sütunda ise eksi iki ve bir kuvvetleri var. E ve F'nin de iki üzeri x ve iki üzeri y gibi farklı kuvvetler olduğunu varsayalım. Soruda her bir sütundaki ifadelerin çarpımının pozitif bir tam kare tam sayı olduğu söyleniyor. Bir üslü ifadenin tam kare bir tam sayı olması için kuvvetinin çift ve sonucun tam sayı olması için kuvvetinin en az sıfır olması gerekir. Şimdi birinci sütundaki çarpımı inceleyelim. İki üzeri eksi bir, E ve iki üzeri üçün çarpımı, üstleri topladığımızda iki üzeri x artı iki sonucunu verir. Burada x artı iki ifadesi sıfır, iki, dört gibi çift bir doğal sayı olmalıdır. Buradan x'in eksi iki, sıfır, iki gibi değerler alabileceğini buluruz. İkinci sütun için de benzerini yapalım. İki üzeri eksi iki, F ve iki üzeri birin çarpımı, iki üzeri y eksi bir eder. y eksi bir ifadesi de çift ve negatif olmamalıdır. Yani y değeri bir, üç, beş gibi tek sayı değerleri alabilir.

Üslü İfadeler ve Tam Kare Sayılar

Animasyonlu Video Çözüm

Adım Adım Yazılı Çözüm