Untersuchung von Exponentialfunktionen
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = 0,5e^{-0,5x} - 2$, $x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild ist $K_f$.
3.1 Bestimmen Sie die Gleichung der Asymptote von $K_f$.
Zeichnen Sie $K_f$ für $-5 \le x \le 6$.
Wie müsste $K_f$ verschoben werden, sodass das verschobene Schaubild die Asymptote mit der Gleichung $y = 1$ hat? (5 Punkte)
3.2 $K_f$ schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein.
Bestimmen Sie deren Inhalt. (5 Punkte)
3.3 Weisen Sie durch Rechnung nach, dass die Gerade mit der Gleichung $y = -0,25x - 1,5$ Tangente an $K_f$ ist. (5 Punkte)
3.4 Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von $K_f$. (3 Punkte)
3.5 Das Schaubild einer trigonomet...
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Gegeben ist die Exponentialfunktion f von x gleich null komma fünf mal e hoch minus null komma fünf x minus zwei. Wir sollen verschiedene Eigenschaften dieser Funktion untersuchen.
Untersuchung der Funktion $f(x)$
Beginnen wir mit der Asymptote in Aufgabe drei eins. Wir lassen x gegen plus unendlich laufen.
3.1 Asymptote und Verschiebung
Da die Basis e hoch minus null komma fünf mal x für große x gegen Null geht, nähert sich der gesamte Funktionsterm dem Wert minus zwei an.
Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet also y gleich minus zwei.
Die nächste Frage ist, wie die Funktion verschoben werden muss, damit die Asymptote bei y gleich eins liegt. Aktuell liegt sie bei minus zwei.
Wir lösen nach d auf und erhalten drei. Das bedeutet, das Schaubild K f müsste um drei Einheiten nach oben in y-Richtung verschoben werden.
In Aufgabe drei zwei geht es um die Fläche, die das Schaubild mit den Koordinatenachsen einschließt. Dazu brauchen wir zuerst den x-Schnittpunkt, also die Nullstelle.
3.2 Fläche mit den Achsen
Wir addieren zwei und multiplizieren mit zwei. Dann steht dort e hoch minus null komma fünf x gleich vier.
Logarithmieren liefert uns minus null komma fünf x gleich ln von vier. Geteilt durch minus null komma fünf ergibt x gleich minus zwei mal ln von vier, was ungefähr minus zwei komma sieben sieben ist.
Der y-Achsenabschnitt ist f von Null. Setzen wir Null ein, erhalten wir null komma fünf minus zwei, also minus eins komma fünf.
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