Analysis einer Exponentialfunktion: Asymptoten, Flächen und Tangenten
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = 0,5 e^{-0,5x} - 2, x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild ist $K_f$.
3.1 Bestimmen Sie die Gleichung der Asymptote von $K_f$.
Zeichnen Sie $K_f$ für $-5 \le x \le 6$.
Wie müsste $K_f$ verschoben werden, sodass das verschobene Schaubild die Asymptote mit der Gleichung $y = 1$ hat? (5 Punkte)
3.2 $K_f$ schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein.
Bestimmen Sie deren Inhalt. (5 Punkte)
3.3 Weisen Sie durch Rechnung nach, dass die Gerade mit der Gleichung $y = -0,25x - 1,5$ Tangente an $K_f$ ist. (5 Punkte)
3.4 Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von $K_f$. (3 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Exponentialfunktion f von x gleich null komma fünf mal e hoch minus null komma fünf x minus zwei und lösen die Teilaufgaben Schritt für Schritt.
Analysis der Funktion $f(x) = 0,5e^{-0,5x} - 2$
Beginnen wir mit Aufgabe drei punkt eins. Wir suchen die Gleichung der waagerechten Asymptote.
3.1 Asymptote und Verschiebung
Wenn x gegen unendlich geht, nähert sich der e-Term mit dem negativen Exponenten der Null an.
Daraus folgt, dass die Asymptote bei y gleich minus zwei liegt.
Für die Verschiebung auf die Asymptote y gleich eins betrachten wir die Differenz. Wir müssen den Graphen um drei Einheiten nach oben verschieben.
Verschiebung um 3 Einheiten parallel zur y-Achse nach oben.
In Teilaufgabe drei punkt zwei berechnen wir die Fläche, die der Graph mit den Koordinatenachsen einschließt.
3.2 Flächeninhalt mit den Achsen
Zuerst bestimmen wir die Nullstelle. Wir setzen f von x gleich null.
Wir addieren zwei und multiplizieren mit zwei.
Durch Logarithmieren erhalten wir minus null komma fünf x gleich ln von vier.
Daraus ergibt sich x gleich minus zwei mal ln von vier, was ungefähr minus zwei komma sieben sieben ist.
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