Aufgabe zu Exponentialfunktionen und Kurvendiskussion
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Aufgabe 3
(30 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -0,5e^{2x} + 2, x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
3.1 Zeichnen Sie $K_f$ für $-4 \leq x \leq 1$ in ein Koordinatensystem. (3 Punkte)
3.2 $K_f$ schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein.
Berechnen Sie deren Inhalt. (5 Punkte)
3.3 Zeigen Sie, dass sich $K_f$ und die Gerade $g$ mit $g(x) = -x + 1,5$ im Schnittpunkt mit der $y$-Achse berühren. (4 Punkte)
3.4 Beurteilen Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind:
(1) Jedes Schaubild einer Stammfunktion $F$ von $f$ besitzt einen Hochpunkt.
(2) Die Ableitung $f'$ von $f$ ist monoton fallend für alle $x \in \mathbb{R}$.
(3) Das Schaubild von $f''$ liegt oberhalb der $x$-Achse für alle $x \in \mathbb{R}$. (6 Punkte)
3.5 $K_f$ schneidet die Gerade mit der Gleichung $y = x$.
Ermitteln Sie die Schnittstelle auf 2 Nachkommastellen genau. (4 Punkte)
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In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Funktion f von x gleich minus null Komma fünf mal e hoch zwei x plus zwei. Wir behandeln Kurvendiskussion, Flächenberechnung und Berührpunkte.
Aufgabe 3: Analysis mit Exponentialfunktionen
In Teilaufgabe drei punkt zwei berechnen wir den Inhalt der Fläche, die der Graph K f mit den Koordinatenachsen einschließt. Dazu suchen wir zuerst die Nullstelle der Funktion.
3.2 Flächeninhalt berechnen
Wir stellen die Gleichung um, indem wir zwei subtrahieren und durch minus null Komma fünf teilen. Das ergibt e hoch zwei x gleich vier.
Durch Anwenden des natürlichen Logarithmus erhalten wir zwei x gleich ln von vier. Damit ist x gleich null Komma fünf mal ln von vier, was exakt ln von zwei oder gerundet null Komma sechs neun ist.
Der y-Achsenabschnitt liegt bei f von null, also minus null Komma fünf plus zwei gleich eins Komma fünf. Da die Funktion im Intervall von null bis ln von zwei positiv ist, berechnen wir das Intergral in diesen Grenzen.
Die Stammfunktion lautet minus null Komma zwei fünf mal e hoch zwei x plus zwei x.
Wir setzen die Grenzen ein. Obere Grenze minus untere Grenze ergibt minus eins plus zwei ln zwei minus in Klammern minus null Komma zwei fünf.
Zusammengefasst ergibt das zwei ln zwei minus null Komma sieben fünf. Das sind etwa null Komma sechs vier Flächeneinheiten.
In Teil drei punkt drei prüfen wir, ob sich K f und die Gerade g an der y-Achse berühren. Ein Berührpunkt bedeutet: Gleicher Funktionswert und gleiche Steigung.
3.3 Berührpunkt an der y-Achse
Die Funktionswerte bei x gleich null stimmen überein. Nun zur Ableitung. Die Ableitung von f ist minus e hoch zwei x.
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