Untersuchung einer Exponentialfunktion

In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Funktion f von x gleich null komma fünf e hoch minus null komma fünf x minus zwei. Zuerst bestimmen wir die Asymptote und zeichnen den Graphen.

Um die waagerechte Asymptote zu finden, untersuchen wir das Verhalten für x gegen unendlich. Da der Exponent minus null komma fünf x für große x gegen minus unendlich geht, nähert sich der e-Term der Null an.

Somit bleibt nur der konstante Teil minus zwei übrig. Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet also y gleich minus zwei.

Schauen wir uns nun den Graphen im Intervall von minus fünf bis sechs an. Hier sehen wir den Verlauf der Kurve K f.

Um eine neue Asymptote bei y gleich eins zu erhalten, müssen wir den Graphen vertikal verschieben. Da die aktuelle Asymptote bei minus zwei liegt, rechnen wir eins minus minus zwei. Wir müssen den Graphen also um drei Einheiten nach oben verschieben.

In Aufgabenteil drei punkt zwei berechnen wir den Flächeninhalt, den der Graph mit den Koordinatenachsen einschließt. Dazu bestimmen wir zuerst die Schnittpunkte.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei minus eins komma fünf. Nun berechnen wir die Nullstelle, indem wir f von x gleich null setzen.

Wir addieren zwei und multiplizieren mit zwei. Dann erhalten wir e hoch minus null komma fünf x gleich vier.

Durch Anwenden des natürlichen Logarithmus und Division durch minus null komma fünf erhalten wir x gleich minus zwei mal ln von vier.

Da die Fläche im dritten Quadranten unterhalb der x-Achse liegt, berechnen wir das Integral von minus zwei ln vier bis null und nehmen den Betrag.