Temperaturverlauf einer Flüssigkeit
Veröffentlicht:
Eine blaue Flüssigkeit wird in einem Labor bei einem Versuch erhitzt. Die Temperatur $T$ der Flüssigkeit in Grad Celsius ($^\circ\text{C}$) wird durch die Funktion $$T(t) = 105 - 83e^{-0,15t}, \quad t \ge 0$$ beschrieben, dabei ist $t$ die Zeit in Minuten.
Diese Temperatur wird von einem Thermometer fortlaufend überwacht.
2.4 Geben Sie den Messbereich an, den das Thermometer für diesen Versuch mindestens erfassen können muss. (2 Punkte)
2.5 Zeigen Sie, dass die momentane Änderungsrate der Temperatur zum Zeitpunkt $t = 5$ kleiner ist als die durchschnittliche Änderungsrate der Temperatur in den ersten fünf Minuten. (4 Punkte)
2.6 Bei einer Temperatur von $92 ^\circ\text{C}$ schlägt die Farbe der Flüssigkeit in grün um. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem dies passiert. (3 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe untersuchen wir die Temperaturänderung einer blauen Flüssigkeit, die durch eine Exponentialfunktion beschrieben wird. Wir schauen uns den Messbereich, die Änderungsraten und einen spezifischen Zeitpunkt an.
Analyse einer Temperaturfunktion
Beginnen wir mit Aufgabe zwei punkt vier: dem Messbereich. Wir müssen den Startwert zum Zeitpunkt null und den Grenzwert für sehr lange Zeit bestimmen.
2.4 Messbereich bestimmen
Der Startwert T von null ergibt sich, wenn wir für t null einsetzen. Da e hoch null gleich eins ist, erhalten wir einhundertfünf minus dreiundachtzig.
Für sehr große Zeiten nähert sich der Exponentialterm null an. Die Temperatur nähert sich also dem Sättigungswert von einhundertfünf Grad Celsius.
Der Thermometer muss also mindestens den Bereich von zweiundzwanzig bis einhundertfünf Grad Celsius abdecken.
In Aufgabe zwei punkt fünf vergleichen wir die momentane Änderungsrate bei t gleich fünf mit der durchschnittlichen Änderungsrate in den ersten fünf Minuten.
2.5 Momentane vs. Durchschnittliche Änderungsrate
Zuerst berechnen wir die Ableitung für die momentane Änderungsrate. Mit der Kettenregel erhalten wir null punkt eins fünf mal dreiundachtzig mal e hoch minus null punkt eins fünf t.
Setzen wir t gleich fünf ein, um die momentane Rate zu finden. Das ergibt etwa fünf punkt acht acht Grad pro Minute.
Jetzt berechnen wir die durchschnittliche Änderungsrate über das Intervall von null bis fünf mit dem Differenzenquotienten.
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
8 weitere Schritte sind gesperrt. Sieh dir die komplette animierte Lösung kostenlos an.
Mach ein Foto, löse jede Aufgabe so.
Den Rest kostenlos ansehen
Kostenloser Download · Erste Lösungen geschenkt
