Untersuchung einer Exponentialfunktion

Gegeben ist die Funktion f von x gleich null komma fünf mal e hoch minus null komma fünf x minus zwei. In dieser Aufgabe analysieren wir das Schaubild K f in verschiedenen Schritten.

Bestimmen wir zuerst die Asymptote. Wir betrachten das Verhalten für x gegen unendlich. Da die Basis e positiv und der Exponent negativ ist, geht e hoch minus null komma fünf x gegen null.

Damit nähert sich der Funktionswert dem konstanten Wert minus zwei an. Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet also y gleich minus zwei.

Um die Asymptote von y gleich minus zwei auf y gleich eins zu verschieben, müssen wir die Kurve um drei Einheiten nach oben verschieben.

In Aufgabenteil drei punkt zwei bestimmen wir den Inhalt der Fläche, die K f mit den Koordinatenachsen einschließt. Dazu berechnen wir zuerst die Nullstelle der Funktion.

Wir addieren zwei und multiplizieren mit zwei. Dann erhalten wir e hoch minus null komma fünf x gleich vier.

Durch Logarithmieren beider Seiten finden wir x. Minus null komma fünf x ist gleich ln von vier.

Geteilt durch minus null komma fünf ergibt x gleich minus zwei mal ln von vier, was etwa minus zwei komma sieben sieben entspricht. Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei f von null gleich minus eins komma fünf.

Die eingeschlossene Fläche liegt im dritten Quadranten unterhalb der x-Achse. Wir berechnen das Integral von x null bis null und nehmen den Betrag.

Die Stammfunktion ist minus e hoch minus null komma fünf x minus zwei x. Wir setzen die Grenzen ein.