Untersuchung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades

Wir betrachten heute eine Kurvendiskussion der Funktion f von x gleich ein halb mal x hoch drei minus drei halbe mal x quadrat. Wir sollen die Nullstellen berechnen, den Wendepunkt bestimmen und eine spezielle Stammfunktion finden.

Beginnen wir mit Aufgabe vier punkt eins und den Nullstellen. Wir setzen den Funktionsterm gleich Null.

Um diese Gleichung zu lösen, können wir ein halb mal x quadrat ausklammern.

Nach dem Satz vom Nullprodukt erhalten wir zwei Lösungen. Entweder ist der erste Faktor Null, was zu x gleich Null führt. Da der Faktor quadratisch ist, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle, also einen Berührpunkt mit der x-Achse.

Oder die Klammer wird Null, was uns x gleich drei liefert. Da dieser Faktor nur einmal vorkommt, ist dies eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.

Als nächstes berechnen wir den Wendepunkt. Hierfür benötigen wir die ersten drei Ableitungen der Funktion.

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung Null wird.

Wenn wir drei x minus drei gleich Null auflösen, erhalten wir x gleich eins. Da die dritte Ableitung drei und somit ungleich Null ist, liegt hier tatsächlich ein Wendepunkt vor.