Fonksiyonun Değer Aralığı ve Türev İlişkisi

Merhaba Ecem. Bu videoda seninle birlikte, fonksiyon ve integral özelliklerini içeren harika bir analiz sorusunu adım adım çözeceğiz.

İlk olarak fonksiyonun türeviyle ilgili verilen eşitsizliği analiz edelim. Bize iks çarpı efin türevi iks sıfırdan küçüktür denmiş.

Burada iki durum vardır. Eğer iks sıfırdan büyükse, çarpımın negatif olması için efin türevi iks sıfırdan küçük olmalıdır.

Benzer şekilde, eğer iks sıfırdan küçükse, efin türevi iks sıfırdan büyük olmalıdır.

Efin türevinin sıfırdan küçük olması, fonksiyonun o aralıkta azalan olduğunu gösterir. Yani, pozitif sayılar kümesinde efin türevi negatif olduğundan, fonksiyonumuz pozitif reel sayılarda azalandır.

Şimdi de integral içeren ikinci koşulumuzu ele alalım. Birden üçe efin içinde iki iks de iks integralinin sekizden büyük olduğu verilmiş.

Bu integralde değişken değiştirme yöntemi uygulayalım. İki iks ifadesine u diyelim.

Her iki tarafın diferansiyelini alırsak, iki de iks eşittir de u, yani de iks eşittir de u bölü iki olur.

Şimdi de integral sınırlarını güncelleyelim. Alt sınır olan iks eşittir bir için, u değerimiz iki çarpı birden iki olur.

Üst sınır olan iks eşittir üç için ise, u değerimiz iki çarpı üçten altı olur.

Bulduğumuz bu değerleri integralde yerine yazalım. Yeni integralimiz, ikiden altıya efin içinde u çarpı de u bölü iki olur.

Buradaki bölü iki sabitini integralin dışına çarpım olarak çıkarıp, eşitsizliğin her iki tarafını iki ile çarpalım.

Eşitsizliğin her iki tarafını iki ile çarptığımızda, ikiden altıya efin içinde u de u integralinin on altıdan büyük olduğunu buluruz.