Untersuchung einer Funktion auf Extrema und Nullstellen
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Gegeben ist die Funktion $g$ durch $g(x) = x^5 + x + 1, x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_g$.
4.2 Zeigen Sie, dass $K_g$ keine Extrempunkte besitzt. (3 Punkte)
4.3 Begründen Sie, dass $K_g$ im Bereich $-1 \le x \le 0$ eine Nullstelle hat.
Ermitteln Sie näherungsweise die ersten beiden Nachkommastellen dieser Nullstelle. (5 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe analysieren wir die Funktion g von x gleich x hoch fünf plus x plus eins. Zuerst zeigen wir, dass der Graph keine Extrempunkte hat.
Analysis der Funktion $g(x)$
Um Extrempunkte zu finden, berechnen wir die erste Ableitung der Funktion. Wir nutzen die Potenzregel.
Teil 4.2: Extrempunkte untersuchen
Für einen Extrempunkt müsste die notwendige Bedingung erfüllt sein, dass die erste Ableitung gleich null ist. Wir setzen den Term also gleich null.
Wenn wir nach x hoch vier auflösen, erhalten wir minus ein Fünftel. Da eine gerade Potenz über den reellen Zahlen niemals negativ sein kann, gibt es keine Lösung.
Da die Ableitung niemals null wird, hat der Graph K g keine Extrempunkte. Zudem sehen wir, dass die Ableitung immer größer als null ist, die Funktion also streng monoton steigt.
Im nächsten Teil sollen wir begründen, dass g im Intervall von minus eins bis null eine Nullstelle besitzt.
Teil 4.3: Existenz einer Nullstelle
Da g eine Polynomfunktion und damit stetig ist, können wir den Zwischenwertsatz anwenden. Dafür berechnen wir die Funktionswerte an den Intervallgrenzen.
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