Analyse von Polynomfunktionen anhand eines Graphen
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4.5 Gegeben ist das Schaubild $K_p$ einer Polynomfunktion $p$. Begründen Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind.
a) $K_p$ gehört zu einer Polynomfunktion, welche mindestens 5. Grades ist.
b) $K_p$ hat genau zwei Wendepunkte im gezeichneten Abschnitt.
c) $p'(0) > p'(1)$
d) Die Gleichung $p(x) = 2$ hat im gezeichneten Abschnitt genau drei Lösungen.
(8 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Das Bild zeigt ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Graphen $K_p$ einer Funktion $p$. Die x-Achse ist skaliert von etwa $-3$ bis $2,5$, die y-Achse von $-2$ bis $3$. Markante Punkte des Graphen: Nullstelle bei ca. $x = -2$, lokales Maximum bei ca. $x = -1,5$ mit $y \approx 2,4$, Schnittpunkt mit der y-Achse bei $(0, 1)$, lokales Minimum bei ca. $x = 1,4$ mit $y \approx -0,2$. Der Graph nähert sich links für $x \to -\infty$ dem Wert $-\infty$ und geht rechts für $x \to \infty$ gegen $+\infty$.
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Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Wir analysieren die Eigenschaften der Polynomfunktion p anhand ihres Graphen K p und prüfen die Aussagen a bis d.
Analyse von Polynomfunktionen
Betrachten wir zunächst Aussage a. Sie behauptet, die Funktion habe mindestens den Grad fünf.
Aussage a)
Behauptung: Grad von p ist mindestens 5.
Zählen wir die Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente, also die lokalen Extremstellen. Wir sehen ein Maximum bei etwa minus eins Komma fünf und ein Minimum bei etwa eins Komma fünf.
Außerdem sehen wir zwischen diesen beiden Extrema einen Sattelpunkt oder einen Bereich mit sehr flacher Steigung. Ein Graph mit zwei Extremstellen kann schon Grad drei haben. Da der Graph aber noch einen weiteren Schwung hat, der auf einen Sattelpunkt hindeutet, ist Grad vier oder fünf sehr wahrscheinlich. Aussage a ist also wahr, da der Grad n mindestens die Anzahl der Extrema plus eins sein muss.
Kommen wir zu Aussage b: Hat der Graph im gezeichneten Abschnitt genau zwei Wendepunkte?
Aussage b)
Behauptung: Genau zwei Wendepunkte.
Ein Wendepunkt liegt vor, wenn sich die Krümmung ändert. Zuerst haben wir eine Rechtskrümmung am Maximum. Dann wechselt sie zu einer Linkskrümmung. Um den Nullpunkt herum scheint sie wieder zu einer Rechtskrümmung zu wechseln, bevor sie am Minimum wieder linksgekrümmt wird.
Da wir zwischen dem Maximum und dem Minimum mindestens zwei Krümmungswechsel finden, ist die Aussage wahr.
Nun zu Aussage c. Hier vergleichen wir die Steigungen an den Stellen null und eins.
Aussage c)
Behauptung: p'(0) > p'(1)
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