Analyse einer Polynomfunktion anhand ihres Graphen
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a) $K_p$ gehört zu einer Polynomfunktion, welche mindestens 5. Grades ist.
Die Aussage ist wahr, da $K_p$ einen Sattelpunkt und zwei Extrempunkte besitzt
b) $K_p$ hat genau zwei Wendepunkte im gezeichneten Abschnitt.
Die Aussage ist falsch: $K_p$ hat drei Wendestellen bei $x = 0$ und $x ≈ -1, x = 1$
c) $p'(0) > p'(1)$
d) Die Aussage ist wahr: $p'(0) = 0$ (waagrechte Tangente im Sattelpunkt)
$p'(1) < 0$ (Steigung der Tangente an $K_p$ bei $x = 1$ ist negativ)
e) Die Gleichung $p(x) = 2$ hat im gezeichneten Abschnitt genau drei Lösungen: $x_1 ≈ -2,1$, $x_2 ≈ -1,3$ und $x_3 ≈ 1,9$
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Das Bild zeigt ein Koordinatensystem mit dem Graphen einer Funktion $K_p$. Die x-Achse reicht von etwa $-2.5$ bis $+2.5$, die y-Achse von $-1.5$ bis $+2.5$. Der Graph beginnt im dritten Quadranten, steigt steil an, hat ein lokales Maximum bei etwa $x ≈ -1.7$ und $y ≈ 2.2$, fällt dann ab zu einem Sattelpunkt bei $(0, 1)$, fällt weiter zu einem lokalen Minimum bei etwa $x ≈ 1.3$ und $y ≈ -0.1$ und steigt dann wieder steil an. Es gibt Nullstellen bei etwa $x ≈ -2.2$, $x ≈ 1.1$ und $x ≈ 1.6$.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Willkommen zu dieser Aufgabe. Wir analysieren den Graphen einer Funktion K p und überprüfen verschiedene Aussagen über dessen Eigenschaften.
Analyse des Funktionsgraphen $K_p$
In Aussage A wird behauptet, dass es sich um eine Polynomfunktion von mindestens fünftem Grad handelt. Schauen wir uns die charakteristischen Punkte an.
Wir sehen ein lokales Maximum bei etwa minus eins komma sechs und ein lokales Minimum bei etwa eins komma drei. Außerdem gibt es bei x gleich null einen Sattelpunkt.
Da ein Sattelpunkt einer doppelten Nullstelle der Ableitung entspricht, haben wir insgesamt mindestens vier Nullstellen der ersten Ableitung. Das bedeutet, der Grad der Funktion muss tatsächlich mindestens fünf sein. Aussage A ist also wahr.
In Aussage B geht es um die Anzahl der Wendepunkte im gezeichneten Bereich.
Wendepunkte analysieren
Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem sich die Krümmung ändert. Ein Sattelpunkt wie bei x gleich null ist immer auch ein Wendepunkt. Zwischen dem Maximum und dem Sattelpunkt muss ein weiterer Wendepunkt liegen, ebenso zwischen dem Sattelpunkt und dem Minimum.
Wir finden also drei Wendestellen im Intervall. Die Aussage B, es gäbe genau zwei, ist somit falsch.
Aussage C vergleicht die Ableitungswerte an den Stellen null und eins.
Vergleich von Ableitungen
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