Analyse einer Polynomfunktion anhand eines Graphen
Veröffentlicht:
a) $K_p$ gehört zu einer Polynomfunktion, welche mindestens 5. Grades ist.
b) $K_p$ hat genau zwei Wendepunkte im gezeichneten Abschnitt.
c) $p'(0) > p'(1)$
d) Die Gleichung $p(x) = 2$ hat im gezeichneten Abschnitt genau drei Lösungen.
(8 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein kartesisches Koordinatensystem mit einer $x$-Achse von ca. $-3$ bis $3$ und einer $y$-Achse von $-2$ bis $3$. Die Kurve $K_p$ stellt eine Polynomfunktion dar. Sie hat eine Nullstelle bei ca. $x = -2.1$, ein lokales Maximum bei ca. $x = -1.5$, $y = 2.1$, ein lokales Minimum bei ca. $x = 1.8$, $y = -0.5$. Es gibt einen Wendepunkt-ähnlichen Verlauf nahe der y-Achse und Nullstellen bei ca. $x = 1.2$ und $x = 2.2$. Das Graphenfenster zeigt Gitterlinien im Abstand von $0.5$ Einheiten. Die Markierungen auf den Achsen sind Ganzzahlen (-2, -1, 0, 1, 2).
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Willkommen zu dieser Aufgabe über den Graphen einer Polynomfunktion p. Wir sollen untersuchen, welche der vier Aussagen wahr sind. Gehen wir sie Schritt für Schritt durch.
Analyse der Aussagen zu K_p
In Aussage A heißt es, dass die Funktion p mindestens vom Grad fünf ist. Schauen wir uns die Anzahl der Extremstellen an.
Aussage a: Grad der Funktion
Wir sehen ein lokales Maximum bei x gleich minus eins Komma fünf, ein Sattelpunkt artiges Flachstück bei null, ein lokales Minimum bei zwei und ein weiteres lokales Maximum. Es gibt mindestens vier Extremstellen.
Betrachten wir nun Aussage B: Der Graph hat genau zwei Wendepunkte im gezeichneten Abschnitt.
Analyse der Aussagen zu K_p
Aussage b: Anzahl der Wendepunkte
Ein Wendepunkt liegt dort, wo sich das Krümmungsverhalten ändert. Zwischen dem Maximum bei minus eins Komma fünf und dem Sattelpunkt bei null gibt es einen Wechsel von Rechts krümmung zu Linkskrümmung.
Außerdem gibt es einen weiteren Wendepunkt zwischen dem Sattelpunkt bei null und dem Minimum bei circa Eins Komma Acht. Aber Vorsicht: Ein Sattelpunkt wie bei x gleich null selbst ist technisch gesehen auch ein Wendepunkt. Damit haben wir schon drei Wendepunkte gefunden. Die Aussage ist also **falsch**.
Die Aussage ist falsch, da es mehr als zwei Wendepunkte gibt (allein der Sattelpunkt ist ein Wendepunkt).
Weiter zu Aussage C: Die Steigung bei null ist größer als die Steigung bei eins.
Analyse der Aussagen zu K_p
Aussage c: p-strich von Null ist größer als p-strich von Eins
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