Analyse einer Polynomfunktion dritten Grades
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1.2 Gegeben ist das Schaubild einer Polynomfunktion $f$ dritten Grades. Entscheiden und begründen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. (6 Punkte)
a) Das Schaubild der ersten Ableitungsfunktion von $f$ ist eine nach unten geöffnete Parabel.
b) Das Schaubild einer neuen Funktion $f_{neu}(x) = f(x) + 1$ schneidet die x-Achse genau zweimal.
c) Das Schaubild einer Stammfunktion von $f$ besitzt genau einen Wendepunkt.
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Das Bild zeigt ein Koordinatensystem mit dem Graphen einer Polynomfunktion 3. Grades (f). Die y-Achse ist von -4 bis 8 beschriftet, die x-Achse ist ebenfalls vorhanden. Der Graph kommt von oben links (positiver y-Bereich), schneidet die y-Achse bei ca. y=2, hat dann einen Tiefpunkt im negativen y-Bereich, einen Hochpunkt im Bereich x > 0 und y > 0 (ca. y=2) und fällt danach unendlich nach unten rechts ab. Die Funktion hat drei Nullstellen.
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Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe analysieren wir den Graphen einer Polynomfunktion dritten Grades, f, und beurteilen drei Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt.
Analyse einer Funktion 3. Grades
Betrachten wir zuerst die allgemeine Form und das Verhalten des Graphen. Da der Graph für große x-Werte nach unten verläuft, wissen wir, dass der Leitkoeffizient kleiner als Null ist.
Gehen wir zur Aussage a über. Diese besagt, dass der Graph der ersten Ableitung eine nach unten geöffnete Parabel ist.
Aussage a)
Ableitungsfunktion $f'$ ist eine nach unten geöffnete Parabel.
Wenn wir f abgeleitet haben, erhalten wir eine quadratische Funktion. Da unser Leitkoeffizient a negativ ist, ist auch der neue Leitkoeffizient drei a negativ. Das bedeutet, die Parabel ist tatsächlich nach unten geöffnet. Aussage a ist also wahr.
Kommen wir zu Aussage b. Hier geht es um eine neue Funktion f-neu, die entsteht, wenn wir den Graphen von f um eine Einheit nach oben verschieben.
Aussage b)
$f_{\text{neu}}(x) = f(x) + 1$ schneidet die $x$-Achse genau zweimal.
Schauen wir uns die lokalen Extrema im Originalgraphen an. Das lokale Minimum liegt bei etwa minus zwei, und das lokale Maximum liegt bei etwa plus zwei.
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