Analysis einer Polynomfunktion fünften Grades

Gegeben ist die Funktion g von x gleich x hoch fünf plus x plus eins. Wir werden diese Aufgaben Schritt für Schritt lösen.

In Aufgabenteil vier punkt zwei sollen wir zeigen, dass der Graph keine Extrempunkte besitzt. Dazu untersuchen wir die erste Ableitung.

Die Ableitung von g berechnet sich zu fünf x hoch vier plus eins.

Notwendige Bedingung für Extrempunkte ist, dass die erste Ableitung Null wird. Aber da x hoch vier immer größer oder gleich Null ist, ist g strich von x immer mindestens eins.

Da die Ableitung für alle x echt größer als Null ist, gibt es keine waagerechten Tangenten und somit keine Extrempunkte.

Weiter mit vier punkt drei. Hier sollen wir begründen, dass g im Bereich von minus eins bis Null eine Nullstelle hat.

Wir nutzen den Zwischenwertsatz. g ist eine stetige Funktion. Berechnen wir die Funktionswerte an den Intervallgrenzen.

Nun berechnen wir den Wert an der Stelle Null. g von Null ergibt eins.

Da g von minus eins negativ und g von Null positiv ist, muss dazwischen ein Vorzeichenwechsel stattfinden.

Nach dem Zwischenwertsatz existiert somit mindestens eine Nullstelle im Intervall von minus eins bis Null.