Analyse einer Polynomfunktion anhand ihres Graphen

In dieser Aufgabe analysieren wir das Schaubild einer Polynomfunktion p und prüfen vier Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt.

Schauen wir uns Aussage a an. Gehört die Funktion zu einem Polynom von mindestens fünftem Grad? Um das zu beurteilen, betrachten wir die Anzahl der Extrempunkte.

Im Graphen sehen wir eine lokale Maximalstelle bei etwa minus eins komma fünf, gefolgt von einer Terrasse oder einem weiteren extremumähnlichen Verlauf und einem Minimum bei eins komma fünf.

Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n minus eins Extrema. Hier sehen wir zwei klassische Extrema. Aber schauen wir auf das Unendlichkeitsverhalten: Der Graph kommt von minus unendlich und geht gegen plus unendlich. Das deutet auf einen ungeraden Grad hin. Da der Graph mehr als eine einfache Nullstelle hat und Kurven aufweist, ist Grad drei möglich. Ein Grad von mindestens fünf ist jedoch nicht zwingend beweisbar, außer wir finden mehr Wendepunkte. Lassen wir das für einen Moment stehen und schauen auf die Krümmung.

Tatsächlich gibt es zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt einen Bereich, in dem sich die Krümmung ändert. Das bringt uns zu Aussage b.

Ein Wendepunkt liegt dort, wo die Krümmung von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht oder umgekehrt. Hier haben wir nach dem Hochpunkt eine Rechtskurve, die bei x gleich null in eine Linkskurve übergehen könnte, und dann wieder zurück.

Zählt man die Krümmungswechsel, findet man tatsächlich genau zwei Wendepunkte im gezeichneten Bereich. Die Aussage b ist also wahr. Da ein Polynom mit zwei Wendepunkten mindestens Grad 4 haben muss, und der Verlauf gegen unendlich auf einen ungeraden Grad hindeutet, ist Grad 5 absolut plausibel. Damit ist Aussage a ebenfalls wahr.

Kommen wir zu Aussage c. Hier vergleichen wir die Ableitungswerte, also die Steigungen an den Stellen null und eins.