Üçüncü Dereceden Polinomların Toplamı ve Sıfırları

Merhaba Melis, bu güzel polinom sorusunu adım adım inceleyelim.

P ve Q polinomlarının üçüncü dereceden olduğu ve köklerinin sadece eksi bir ile iki olduğu verilmiş. Başka kök olmaması için bu köklerden biri çift katlı olmalıdır.

Aynı şart Q polinomu için de geçerlidir. Başkatsayısına b dersek benzer iki seçenek vardır.

Soruda P ve Q toplamının ikinci dereceden bir polinom olduğu söylenmiş.

İki üçüncü dereceden polinomun toplamının derecesinin ikiye düşmesi için, x küplü terimlerin birbirini yok etmesi gerekir.

Bu da A ile B katsayılarının toplamının sıfır olduğu sonucunu verir. Yani B eşittir eksi A olmalıdır.

Eğer P ve Q tamamen aynı kök yapısına sahip olsaydı, zıt başkatsayılarla toplandıklarında polinom tamamen sıfırlanır ve ikinci dereceden bir polinom kalmazdı. Demek ki polinomlar farklı formda olmalı.

Şimdi birinci senaryoyu inceleyelim.

P bir artı Q bir eşittir on iki bilgisini kullanacağız. Önce işleme değerleri yerine koyarak başlayalım.

İfadede x yerine bir yazarsak P bir, A çarpı ikinin karesi çarpı eksi birden eksi dört A bulunur.

Aynı şekilde Q bir'i hesaplarsak, o da eksi A çarpı iki çarpı eksi birin karesinden eksi iki A gelir.

Topladığımızda eksi altı A elde ederiz ve bunu on ikiye eşitleriz.