P(x) Polinomunun Sıfırlarının Sayısı

Merhaba sevgili öğrenciler. Bu videomuzda harika bir AYT polinom sorusunu birlikte inceleyeceğiz. Öncelikle soruda bize verilen bilgileri tahtamıza yazarak başlayalım.

Bize birinci eşitsizlik olarak P bir çarpı P üç sıfırdan küçüktür verilmiş.

İkinci olarak ise P üç çarpı P beş sıfırdan büyüktür eşitsizliği verilmiş.

Çok önemli bir bilgi daha var: P x polinomunun x eksenine teğet olduğu herhangi bir noktası bulunmamaktadır.

Bir polinomun x eksenine teğet olmaması ne anlama gelir? Bu, polinomun x eksenini kestiği her noktada işaret değiştirdiği, yani teğet geçip geri dönmediği anlamına gelir. Yani her kök bir kesim noktasıdır.

Şimdi bizden istenen, bir ile beş açık aralığındaki sıfırlarının, yani köklerinin sayısını bulmak. Bu aralığı üç noktasına göre iki bölüme ayıralım.

Aralığı, bir üç açık aralığı ve üç beş açık aralığı olarak ikiye bölebiliriz. Peki, üç noktasının kendisi kök olabilir mi?

Eğer P üç sıfıra eşit olsaydı, çarpımlar sıfırdan küçük veya büyük olamazdı, sıfır olurdu. Dolayısıyla üç değeri bir kök olamaz.

Şimdi yeni bir sayfada her iki alt aralıktaki kök durumlarını tek tek analiz edelim.

İlk olarak bir üç aralığına bakalım. P bir çarpı P üç sıfırdan küçük olduğuna göre, bu iki değer zıt işaretlidir.

Eğer fonksiyonun bir ve üç noktalarındaki işaretleri farklıysa, grafik bu aralıkta x eksenini tek sayıda kesmek zorundadır. Hiçbir teğet noktası da olmadığı için, bu aralıktaki kök sayısı kesinlikle bir tek sayıdır.

Bu tek sayı değerini a ile gösterelim. Yani a elemanıdır bir, üç, beş, yedi gibi tek sayılar.