Üçüncü Dereceden Polinomlar Sorusu

Selam irem, polinomlar konusundan oldukça şık bir AYT sorusuyla beraberiz. Gel, adım adım çözümleyelim.

P(x) ve Q(x) polinomlarının üçüncü dereceden olduğu ve kök kümelerinin eksi bir ve iki olduğu verilmiş.

Bir polinom üçüncü dereceden ise üç tane kökü olmalı. Küme iki elemanlıysa, köklerden biri çift katlı demektir.

P(x) için iki ana durumu inceleyelim. Ya eksi bir kökü ya da iki kökü çift katlıdır.

Aynı mantık Q(x) için de geçerli. Toplamlarının ikinci derece olması bizim için anahtar bilgi olacak.

P artı Q'nun ikinci dereceden olması, üçüncü dereceli x küplü terimlerin birbirini yok etmesi demektir.

Eğer her iki polinom da aynı kökte çift katlı olsaydı, örneğin eksi birde, toplamları da üçüncü dereceden çıkardı. Bu yüzden biri eksi birde diğeri ikide çift katlı olmalı.

Şimdi x küplü terimlerin katsayılarına bakalım. P'den a, Q'dan b gelir. Toplamın ikinci derece olması için a artı b sıfır olmalıdır.

Verilen bir diğer bilgi ise P bir artı Q birin on ikiye eşit olmasıdır. Bu değerleri polinomlarda yerine koyalım.

Şimdi bu iki değeri toplayalım ve on ikiye eşitleyelim. B yerine de eksi a yazalım.