Polinomların Kökleri ve Katsayıları

Merhaba Ecrin, gel bu güzel polinom sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Elimizde üçüncü dereceden bir P x ve ikinci dereceden bir Q x polinomu var. Soruda en kritik bilgi, Q x'in bütün köklerinin aynı zamanda P x'in de kökü olması.

Q x'in kökleri P x'in de köküyse, P x polinomu Q x polinomuna tam bölünür diyebiliriz. Yani P x eşittir Q x çarpı bir doğrusal çarpan şeklinde yazılabilir.

Şimdi polinomların baş katsayılarına bakalım. P x'in baş katsayısı bir, Q x'in de bir. Bu durumda doğrusal çarpanımız basitçe x eksi k formatında olacaktır.

Şimdi sağ tarafı dağıtalım. Önce x ile çarparsak x küp, artı a x kare, artı b x, artı x gelir.

Şimdi terimleri derecelerine göre gruplayalım. Kareli terimler a eksi k parantezinde toplanır.

Bu ifadeyi orijinal P x polinomu ile karşılaştıralım. x karenin katsayılarını eşitleyerek başlayalım.

Buradan k değerini a cinsinden bulabiliriz. a'yı karşıya atarsak, k eşittir bir eksi a sonucuna ulaşırız.

Şimdi birinci dereceden terimlerin katsayılarını eşitleyelim. Sol tarafta eksi parantezinde a eksi bir var, sağda ise b artı bir eksi a k var.

Bulduğumuz k değerini denklemde yerine yazalım. a çarpı bir eksi a olur.

Parantezi dağıtalım. a eksi a kare gelir.

Her iki taraftaki birleri ve eksi a'ları sadeleştirelim.