Üçüncü dereceden polinomda artan-azalanlık

Merhaba Zeynep, bu AYT matematik sorusunu birlikte çözelim. Polinom ve türev bilgisini kullanarak bir fonksiyonun azalan olduğu aralığı bulacağız.

Soruda f x polinomunun üçüncü dereceden olduğu ve baş katsayısının iki olduğu verilmiş. Ayrıca x eksi iki ve iki x bu polinomun çarpanlarıymış.

Burada k değerini henüz bilmiyoruz. Polinomu biraz daha sade bir hale getirelim. İki ile iki iksi çarparsak dört x elde ederiz.

Şimdi çarpmayı dağıtalım. Önce dört x'i parantezin içine dağıtalım. Bu bize dört x kare eksi sekiz x verir.

Şimdi de bütün terimleri çarpalım. f x fonksiyonu; dört x küp, eksi dört k x kare, eksi sekiz x kare, artı sekiz k x şeklinde olur.

Bize f'in türevinin sıfır noktasındaki değerinin sekiz olduğu bilgisi verilmiş. O halde polinomun türevini alalım.

Bu türev fonksiyonunda x yerine sıfır yazalım. On iki x kare ve ortadaki terim sıfır olur, geriye sadece sekiz k kalır.

f türev sıfırın sekiz olduğunu bildiğimiz için, sekiz k eşittir sekizden, k'yı bir olarak buluruz.

k değerini bulduğumuza göre türev fonksiyonunu güncelleyelim. k yerine bir yazdığımızda orta terim sekiz artı sekizden on altı olur.

Bir fonksiyonun azalan olması için türevinin sıfırdan küçük olması gerekir. Yani bu eşitsizliği incelemeliyiz.

İşlem kolaylığı için her tarafı dörde bölelim. Üç x kare eksi dört x artı iki küçüktür sıfır ifadesine ulaşırız.

Bu ifadenin köklerini bulmak için diskriminanta bakalım. b kare eksi dört a c formülünden, eksi dördün karesi eksi dört çarpı üç çarpı ikiden karşımıza on altı eksi yirmi dört çıkar.