Polinomlarda Kök ve Türev İlişkisi

Selam millet! Bugün bir polinom ve türevi ile ilgili harika bir soru çözeceğiz. Soruda bize bir P x polinomu verilmiş ve bu polinomun köklerinin türev değerleri olduğu söylenmiş.

Öncelikle polinomun birinci ve ikinci türevlerini bulalım. Polinomumuz üç x kare artı m x artı n şeklinde.

Üç x karenin türevi altı x, m x'in türevi ise m'dir. Böylece birinci türevimiz altı x artı m olur.

Şimdi ikinci türevi hesaplayalım. Altı x artı m'in tekrar türevini aldığımızda sabit değer olan sekizi yani altıyı buluruz.

Şimdi soruda verilen kökleri, yani sıfırları hesaplayalım. Köklerden biri P türev bir, diğeri ise P iki türev bir olarak verilmiş.

Birinci kökümüz olan x bir'i bulmak için P türev fonksiyonunda x yerine bir yazalım. Bu durumda altı artı m değerini elde ederiz.

İkinci kökümüz x iki ise P iki türev bir değeridir. İkinci türev sabit altı olduğu için, x yerine ne yazarsak yazalım sonuç her zaman altı çıkacaktır.

Artık polinomun köklerini biliyoruz. İkinci dereceden bir denklemde kökler toplamı eksi b bölü a formülü ile bulunur.

Kökleri toplayalım: Altı artı m ile altıyı toplarsak, on iki artı m olur.