Üçüncü Dereceden Polinom ve Eşitsizlik Sorusu

Merhaba Nazlı, polınom eşitsizlikleri içeren bu güzel soruyu birlikte adım adım çözelim.

Öncelikle bize verilen bilgileri not edelim. P x polinomu üçüncü dereceden ve sıfırları a, b ve c. Ayrıca a, b, c sayıları pozitif tam sayılar ve bir sıralama verilmiş.

Eşitsizliğimizde P eksi x terimi de var. P eksi x'i bulmak için x yerine eksi x yazalım.

Parantez içindeki eksileri dışarı çıkarırsak, üç tane eksi çarpıldığında sonuç yine eksi olur.

Şimdi eşitsizliği kuralım. P x ile P eksi x çarpımının sıfırdan büyük olması isteniyor.

Bulduğumuz ifadeleri çarpalım. Eksiyi başa alalım, k kare terimi her zaman pozitif olacağı için işareti etkilemez.

Baş katsayı negatif olduğu için eşitsizliğin yönünü değiştirip k kareyi atalım.

Şimdi bu eşitsizliğin tablosunu yapalım. Köklerimiz küçükten büyüğe eksi c, eksi b, eksi a, a, b ve c'dir.

İşaret artı ile başlar. Çarpımdaki x kareli terimler pozitif olduğu için sağdan artı, eksi, artı, eksi diye devam ederiz.

Bizden ifadenin negatif olduğu yerler istenmişti. Çözüm kümelerimiz bu aralıklar olur.

Soruda çözüm kümesinde tam olarak beş farklı tam sayı olduğu söylenmiş. Pozitif a, b, c sayıları için tam sayıları sayalım.

Eksi a ile a arasındaki tam sayılar 2 a eksi 1 tanedir. Örneğin a 1 ise sadece 0 vardır.

Diğer aralıklardaki tam sayı sayısı ise c eksi b eksi 1 tanedir. İki aralık simetrik olduğu için bunu 2 ile çarpalım.

Toplam sayı 5'e eşit olmalı.

Düzenlersek, 2 parantezinde a artı c eksi b ifadesi 6'ya, yani sonucun 3 olması gerektiğine ulaşırız.