Üçüncü Dereceden Polinom Problemi

Merhaba Zeynep, bu soruyu birlikte adım adım çözelim. Elimizde başkatsayısı bir olan, üçüncü dereceden bir P x polinomu var.

Polinomun sıfırlarından oluşan kümenin iki tam sayıdan oluştuğu söylenmiş. Üçüncü dereceden bir polinomun normalde üç kökü olmalıdır. Biz bu kümeye K bir diyelim.

Kökler kümesi yalnızca iki elemanlıysa, bu köklerden birinin çift katlı kök olması gerektiğini anlıyoruz.

Diğer bilgiye geçelim. P x eksi dört polinomunun kökleri, P x polinomunun köklerinden tam dört fazladır. Buna da K iki diyelim.

Çarpımın sıfırları, bu iki polinomun kök kümelerinin birleşimiyle bulunur. K bir birleşim K iki kümesini yazalım.

Soruda birleşim kümesinin üç elemanlı olduğu verilmiş. Dört eleman görüyoruz, demek ki iki kümenin tam olarak bir elemanı ortak olmalı.

Bu ortaklık ancak a artı dört, b ye eşit olduğunda sağlanabilir. Yani köklerin arasındaki fark dörttür.

Bu durumda, P x polinomunun köklerinden biri a, diğeri ise a artı dört olacaktır.

Köklerimizi a ve a artı dört olarak belirledik. P x in katsayılar toplamı eksi beş olarak verilmiş. Yani P bir eksi beşe eşittir.

Çift katlı kökün a olduğunu varsayarak P x polinomumuzu yazalım.

Denklemde x yerine bir yazıp eksi beşe eşitleyelim.

İkinci parentezin içini düzenleyelim. Bir eksi a eksi dört işlemi, eksi a eksi üçe eşit olur.