Üçüncü Dereceden Polinom Problemi

Selam Nisa, gel bu polinim sorusunu birlikte çözelim. Soruda üçüncü dereceden bir P x polinomunun özellikleri verilmiş.

P x üçüncü dereceden bir polinom ve kökler kümesi iki elemanlı ise, bir kökümüz tek katlı diğeri ise çift katlı olmalıdır. Köklerimize a ve b diyelim.

Şimdi P x eksi dört polinomunun köklerini düşünelim. Eğer P x in kökleri a ve b ise, x eksi dörtlü ifadenin kökleri a artı dört ve b artı dört olacaktır.

Bu iki polinomun çarpımının kökler kümesi, bu iki kümenin birleşimidir. Bu birleşim kümesinin üç elemanlı olduğu söylenmiş. Bu ancak elemanlar arasında çakışma olursa mümkündür.

Dört elemandan üçüne düşmek için ya a eşittir b artı dört olmalı ya da b eşittir a artı dört olmalı. Diyelim ki a eşittir b artı dört olsun.

Polinomun katsayıları toplamının eksi beş olduğu verilmiş. Yani P bir eşittir eksi beştir. Denklemde x yerine bir koyalım.

Denklemi düzenleyelim. Eksi b eksi üçün karesi, b artı üçün karesi ile aynıdır.

Şimdi b için bir tam sayı arıyoruz. Deneyerek bulabiliriz. Eğer b eşittir iki dersek, beşin karesi yirmi beş çarpı eksi bir, eksi yirmi beş yapar. Bu olmadı.

Eğer b eşittir sıfır dersek, üçün karesi dokuz çarpı bir, dokuz yapar. Bu da olmadı. Peki b eşiti iki durumunda karesel olmayan çarpanı inceleyelim.