Üçüncü Dereceden Fonksiyon Ekstremum Noktaları ve Türev

Merhaba arkadaşlar. Bugün polinomlar ve türev ilişkisini içeren çok güzel bir AYT sorusu çözeceğiz. Başkatsayısı iki olan üçüncü dereceden bir fonksiyonumuz var.

Öncelikle f fonksiyonumuzun genel formunu yazalım. Başkatsayısı iki olduğu için f x eşittir iki x küp artı a x kare artı b x artı c şeklinde başlayabiliriz.

Soruda f fonksiyonunun bir ekstremum noktasının eksi bir virgül a olduğu söylenmiş. Bu, türevin eksi birde sıfır olduğu anlamına gelir.

İkinci bilgide f türev fonksiyonunun da bir ekstremum noktası olduğu ve bunun iki virgül b olduğu belirtilmiş. Bir fonksiyonun türevinin ekstremum noktası, o fonksiyonun ikinci türevinin köküdür. Yani f ikinci türev iki eşittir sıfırdır.

Şimdi genel formülümüzün türevlerini alarak ilerleyelim. f x eşittir iki x küp artı m x kare artı n x artı k diyelim, değişkenleri sorudaki a ve b ile karıştırmayalım.

Birinci türevi aldığımızda, kuvvetleri başa indirip bir azaltıyoruz. f türev x eşittir altı x kare artı iki m x artı n olur.

İkinci türevi de alalım. f ikinci türev x eşittir on iki x artı iki m olur.

Az önce bulduğumuz bilgiyi kullanalım. f ikinci türev iki eşittir sıfır idi. On iki çarpı iki artı iki m eşittir sıfırdan, yirmi dört artı iki m eşittir sıfır ve m eşittir eksi on iki bulunur.

Şimdi m değerini birinci türevde yerine yazalım. f türev x'in yeni hali altı x kare eksi yirmi dört x artı n olur.

f türev eksi birin de sıfır olduğunu biliyoruz. x yerine eksi bir yazarsak: altı artı yirmi dört artı n eşittir sıfır olur.

Buradan otuz artı n eşittir sıfır ve n eşittir eksi otuz sonucuna ulaşırız.

Şu ana kadar fonksiyonun büyük bir kısmını bulduk. f x eşittir iki x küp eksi on iki x kare eksi otuz x artı k. Şimdi k değerini bulmak için son bilgiye bakalım.