Üçüncü Dereceden Bir Polinomun Katsayıları

Selam Beyza, seninle birlikte bu polinom sorusunu adım adım çözelim.

Öncelikle, üçüncü dereceden bir polinomun genel formunu yazalım. P iks eşittir a iks küp, artı b iks kare, artı c iks, artı d olsun.

Soruda katsayıların ardışık tam sayılar olduğu söylenmiş. O halde şöyle bir düzenleme yapabiliriz. b eşittir a artı bir, ce eşittir a artı iki ve de eşittir a artı üç yazalım.

Şimdi ilk verilen denklemi kullanalım. P iki artı P eksi iki eşittir kırk sekiz. Polinomda iks yerine iki ve eksi iki yazdığımızda tek dereceli terimler birbirini götürür.

Bu ifadeyi sadeleştirirsek, sekiz b artı iki de, eşittir kırk sekiz olur. Her iki tarafı ikiye bölelim.

Elimizde dört b artı d, eşittir yirmi dört denklemi kalır.

Az önce bulduğumuz ardışık sayı ilişkisini burada yerine koyalım. be yerine a artı bir, de yerine a artı üç yazalım.

Parantezi açarsak, dört a artı dört, artı a, artı üç, eşittir yirmi dört elde ederiz.

Buradan beş a artı yedi, eşittir yirmi dörttür. Yediyi karşı tarafa atalım.

Ancak burada tam sayı gelmedi. Sorudaki ikinci ipucuna bakalım belki orada bir hata payı vardır ya da katsayılar azalan sırada olabilir.

İkinci bilgiyi inceleyelim. P üç eksi P eksi üç, eşittir yüz doksan sekiz. Bu sefer çift dereceli terimler birbirini sadeleştirir.

Elli dört a artı altı c, eşittir yüz doksan sekiz olur. Altı ile sadeleştirelim.

Dokuz a artı c, eşittir otuz üç denklemini buluruz.

Şimdi c yerine a artı iki yazarsak, on a artı iki eşittir otuz üç olur ki bu yine tam sayı vermez. O zaman katsayıların sırasını tekrar düşünelim.

Katsayılar a, a artı bir, a artı iki ve a artı üç şeklinde değil de, farklı bir sırada olabilir. Diyelim ki katsayılar de, ce, be, a sırasıyla ardışık olsun.

P üç eksi P eksi üç denklemini tekrar kuralım. Az önce bulduğumuz elli dört a artı altı c eşittir yüz doksan sekiz denklemi geneldir.

Eğer c eşittir a eksi iki ise, on a eksi iki eşittir otuz üç olur. Yine tam sayı gelmiyor. Katsayılar farkı bir ise, bu farkı k olarak alıp genel çözelim.

Dokuz a artı a artı ke eşittir otuz üç ise, on a artı ke eşittir otuz üç. Buradan a eşittir üç ve ke eşittir üç olmalıdır.

Bu durumda katsayılar üçer üçer artıyor demektir. a eşittir üç, c eşittir altı, b eşittir dört buçuk gibi bir değer olur ki bu tam sayı kuralını bozuyor. Soru üzerinde yapılan karalamalara bakarsak katsayılar ikişer artıyor olabilir mi?

Hemen kontrol edelim. a eşittir iki, be eşittir dört, ce eşittir altı, de eşittir sekiz olsun. Bunlar ardışık çift sayılardır.