Üçgenlerin Benzerliği ve Alan Oranı
Yayınlanma:
8. Burak, sarı ve mavi renkli camlardan dik üçgen biçiminde birer parça kesiyor. Mavi ve sarı renkli bu üçgenler benzer olup mavi renkli üçgenin çevresi sarı renkli üçgenin çevresinin $\frac{6}{5}$ katıdır.
[Görsel: İki ayrı dik üçgen; mavi ABC ve sarı DEF.]
Burak, sarı renkli üçgenin dik köşesi mavi renkli üçgenin ağırlık merkezi ile çakışacak ve uzunlukları orantılı olan kenarları birbirine paralel olacak şekilde aşağıdaki gibi yerleştirdiğinde iki camın kesişim bölgesi yeşil renk ile görünmektedir.
[Görsel: Üçgenlerin üst üste yerleşimi ve yeşil kesişim bölgesi.]
Buna göre, son durumda yeşil renkli bölgenin alanının, sarı renkli bölgenin alanına oranı kaçtır?
A) $\frac{4}{21}$
B) $\frac{1}{3}$
C) $\frac{4}{9}$
D) $\frac{1}{8}$
E) $\frac{3}{8}$
Soruda görsel içerik var: The image shows two right-angled triangles in the top part: a blue triangle labeled ABC (right-angled at B) and a yellow triangle labeled DEF (right-angled at E). Below, these triangles are partially overlapping to form a green region. The yellow triangle is placed such that its right-angle vertex E coincides with the blue triangle. The problem states the triangles are similar and gives a ratio for their perimeters.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Fatma, seninle birlikte bu güzel geometri sorusunu adım adım ve analitik bir yöntem kullanarak çözelim.
Benzer İki Dik Üçgen
Soruda bize mavi renkli üçgenin çevresinin, sarı renkli üçgenin çevresine oranının altı bölü beş olduğu verilmiş.
Bu durumda, benzer iki üçgenin kenar uzunlukları oranı da çevreleri oranına eşittir. Yani mavi üçgenin kenarları, sarı üçgenin kenarlarının altı bölü beş katıdır.
Bu problemi en kolay ve hatasız çözmek için dik koordinat düzlemini kullanalım. Böylece ağırlık merkezini ve kesişim bölgesini çok rahat bulabiliriz.
Analitik Koordinat Sistemi
Mavi renkli ABC üçgeninin dik köşesi olan B noktasını başlangıç noktası, yani orijin olarak seçelim.
Ağırlık merkezini kolayca bulabilmek için, mavi üçgenin kenar uzunluklarını üç ve katları cinsinden belirleyelim. Dikey kenar üç h, yatay kenar ise üç b olsun.
Böylece mavi üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısı olan dokuz b h bölü iki olur.
Şimdi, mavi üçgenin ağırlık merkezi olan G noktasının koordinatlarını hesaplayalım.
Ağırlık Merkezinin Bulunması
Bir üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları, köşe koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.
Değerleri yerine yazarsak, sıfır artı sıfır artı üç b bölü üçten yatay koordinatı b, benzer şekilde düşey koordinatı h buluruz.
Soruda sarı üçgenin dik köşesi olan E noktasının bu ağırlık merkezi ile çakıştığı belirtilmiş. Dolayısıyla E noktasının koordinatları b virgül h olur.
Sarı renkli DEF üçgeninin kenar uzunluklarını hesaplayalım.
Sarı Üçgenin Kenarları ve Alanı
Benzerlik oranımız altı bölü beş olduğundan, sarı üçgenin kenarları mavi üçgenin karşılık gelen kenarlarının beş bölü altı katı olacaktır.
Yatay kenar olan E F uzunluğu da aynı oranla üç b'nin beş bölü altısı, yani iki buçuk b olur.
Çözümün devamı Solvi’de
13 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
