Üçgenlerde Alan ve Orantı

Merhaba Muhammed. Seninle birlikte bu güzel geometri sorusunu adım adım çözelim.

İlk olarak, soruda bize verilen şekli daha net görmek için ekranımıza çizelim. Burada dört farklı alan bölgesi görüyoruz.

Soruda, bu dört bölgenin alanlarının sırasıyla bir, iki, üç ve üç sayılarıyla orantılı olduğu belirtilmiş. Bunları S cinsinden yazalım.

Şimdi AD doğrusu üzerindeki tabanları inceleyelim. Birinci ve ikinci bölgeler, ortak bir K köşesine sahiptir.

Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanlarının oranı, tabanlarının oranına eşittir. Yani CD uzunluğunun AC uzunluğuna oranı bir bölü iki olur.

AD uzunluğu soruda on iki santimetre olarak verilmiş. Bu durumda, CD uzunluğu dört santimetre, AC uzunluğu ise sekiz santimetre olur.

Şimdi de DE doğrusuna odaklanalım. ADK üçgeninin toplam alanı, birinci ve ikinci bölgelerin alanları toplamı, yani üç S'tir.

AEK üçgeninin alanı da, yani üçüncü bölge, üç S'tir. Bu iki üçgen ortak bir A köşesine sahiptir ve tabanları DE üzerindedir.

Alanlar birbirine eşit olduğundan, taban uzunlukları da eşit olmalıdır. DE'nin tamamı on santimetre olduğundan, K noktası orta noktadır ve DK ile KE uzunlukları beşer santimetredir.

Benzer şekilde, üçüncü ve dördüncü bölgeler olan AKE ve BKE üçgenlerinin alanları da üçer S'tir. Ortak K köşesinden dolayı tabanları eşittir, yani E noktası AB segmentinin orta noktasıdır.

Soruda AK ve BC doğrularının dik kesiştiği verilmiş. Bu, AKB açısının doksan derece olduğu anlamına gelir.

AKB dik üçgeninde, KE doğrusu hipotenüse ait bir kenarortaydır. Muhteşem üçlü kuralına göre, bir dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.